目录
一 整除
定义
性质
二 GCD
1）定义
2）性质
3）GCD编程
①暴力法
②欧几里得算法
③更相减损术
④Stein算法
三 LCM
①暴力法
②最大公约数法
四 裴蜀定理
例题：裴蜀定理
五 算法实践
[蓝桥杯 2019 省 B] 等差数列
一 整除
定义
a 能整除b,记为 a|b。其中,a 和 b为整数,且a不等于0, b是a 的倍数,a 是b的约数(因子)。
如:13|182,一5|35,-3|36;
6 的因子是士1、2、土3、土6。
性质
1)若a,b,c为整数,且alb、blc,则alc;
2)若a、b、m，n为整数,且cla、clb,则cl(ma+nb);
3)定理:带余除法。如果a和b为整数且b>0,则存在唯一的整数 q、r,使a=bq+r，0<r<b
二 GCD
1）定义
整数 a 和6的最大公约数是指能同时整除a 和b 的最大整数,记为 gcd(a,b)。
例如：gcd(15,81)=3,gcd(0,44)=44,gd(0,0)=0,ged(-6,-15)=3,ged(-17,289)=17。
注意:由于-a 的因子和a 的因子相同,因此 ged(a,b)=ged(lal,lbl)。编码时只需要关注正整数的最大公约数。
2）性质
1) gcd(a,b)=gcd(a,a+b)=gcd(a, ka+b)
2) gcd(ka,kb)=k*gcd(a, b)。
3) 定义多个整数的最大公约数: gcd(a，b，c)=gcd[gcd(a，b),c]。
4）若 gcd(a,b)=d,则 gcd(a/d,b/d)=1,即a/d 与b/d 互素。
5) gcd(a+cb,b)=gcd(a,b).
3）GCD编程
①暴力法
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main()
{
int a,b,i;
scanf("%d",&a);
scanf("%d",&b);
i=fmin(a,b);
while(i)
{
if(a%i==0&&b%i==0)
break;
i--;
}
printf("%d",i);
return 0;
}②欧几里得算法
辗转相除法原理：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。这个和更相减损术有着异曲同工之处。
用辗转相除法求 GCD
即 gcd(a，b)=gcd(b，a mod b)。代码如下
int gcd(int a, int b)//一般要求a>=0,b>0.若a=b=0,代码也正确,则返回0
{
return b? gcd(b, a% b):a;
}这是最常用的方法,它极为高效
拉梅定理给出了复杂度分析
拉梅定理：用欧几里得算法计算两个正整数的最大公约数,需要的除法次数不会超过两个整数中较小的那个十进制数的位数的 5 倍。
推论：用欧几里得算法求 gcd(a，b),a>b,需要 O((loga)3)次位运算。
欧几里得算法的缺点是需要做取模运算,而高精度的除法取模比较耗时,此时可以使用“更相减损术
和 Stein 算法,它们只用到了减法和移位操作。
③更相减损术
定义：(如果需要对分数进行约分，那么)可以折半的话，就折半(也就是用2来约分)。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分。
算法的计算基于这一性质: gcd(a，b)=gcd(b，a-b)=gcd(a，a-b)。计算步骤:用较大的数减较小的
数,把所得的差与较小的数比较,然后继续做减法操作,直到减数与差相等为止。
int gcd(int a, int b)
{
while(a != b)
{
if(a> b) a=a-b;
else
b=b-a;
}
return a;
}更相减损术虽然避免了欧几里得的取模计算，但是计算次数比欧几里得算法多很多,极端情况下需
要计算 O(max(a，b))次,如a=100,b=1时,需计算 100次
④Stein算法
Stein 算法是更相减损术的改进。求 gcd(a,b)时,可以分为几种情况进行优化。
(1)a 和b 都是偶数。gcd(a,b)=2gcd(a/2,b/2),计算减半。
(2)a 奇b偶。根据原理:若k和y互为质数有 gcd(kx,y)=gcd(x,b)。当k=2,b 为奇数时,有
gcd(a，b)=gcd(a/2,b),即偶数减半。表示 bb 存在2这个因子而 aa 不存在，则将 bb 除以2,，不考虑因子2；
(3)a 偶b奇。gcd(a，b)=gcd(a,b/2),
(4)a 和b 都是奇数。gcd(a,b)=gcd((a+b)/2,(a-b)/2)。
算法的结束条件仍然是 gcd(a,a)=a。
除 2 操作用移位就可以了，所以 Stein 算法只用到加减法和移位;
三 LCM
a 和b 的最小公倍数表示为 lcm(a,b),从算术基本定理推理得到。
算术基本定理：任何大于1的正整 数n 都可以唯一分解为有限个的乘积；
①暴力法
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main()
{
int a,b,i;
scanf("%d",&a);
scanf("%d",&b);
i=fmax(a,b);
while(i)
{
if(i%a==0&&i%b==0)
break;
i++;
}
printf("%d",i);
return 0;
}可以推出 gcd(a,b)lcm(a,b)=ab,即 lcm(a,b)=ab/gcd(a,b)=a/gcd(a,b)b。
注意，要先作除法再作乘法,如果先作乘法可能会溢出。
②最大公约数法
int lcm(int a, int b)
{
return a / gcd(a,b) * b;
}四 裴蜀定理
裴蜀定理是关于 GCD的一个定理。
裴蜀定理(Bezout’s Lemma)：如果a 与b 均为整数,则有整数x和y使ax+by=gcd(a,b)。
这个等式称为Bezout 等式
推论:整数a 与b互素当且仅当存在整数 x和y,使ax+by=1.
裴蜀定理很容易证明。
可以这样理解裴蜀定理:对任意x和y, d =ax+by,d 一定是gcd(a,b)的整数倍;最小的 d 是 gcd(a,b).
例题：裴蜀定理
代码
#include<stdio.h>
#define ll long long
int gcd(int a, int b)
{
return b? gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
int n,ans=0,tmp,i;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&tmp);
if(tmp<0) tmp=-tmp;
ans=gcd(ans,tmp);
}
printf("%d",ans);
return 0;
}五 算法实践
[蓝桥杯 2019 省 B] 等差数列
数学老师给小明出了一道等差数列求和的题目。但是粗心的小明忘记了一 部分的数列，只记得其中 NN 个整数。
现在给出这 NN 个整数，小明想知道包含这 NN 个整数的最短的等差数列有几项？
输入描述
输入的第一行包含一个整数 NN。
第二行包含 NN 个整数 A_1,A_2,··· ,A_NA1,A2,⋅⋅⋅,AN。(注意 A_1A1 ∼ A_NAN 并不一定是按等差数列中的顺序给出)
其中，
输出描述
输出一个整数表示答案。
输入输出样例
示例
5
2 6 4 10 20
10
样例说明： 包含 2、6、4、10、20 的最短的等差数列是 2、4、6、8、10、12、14、16、 18、20。
代码：
#include<stdio.h>
#define ll long long
ll cmp(const void *a,const void *b)
{
return *(int *)a>*(int *)b;
}
ll gcd(ll a, ll b)
{
return b? gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
ll n,a[100010],i,x;
scanf("%lld",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
qsort(&a[1],n,sizeof(a[1]),cmp);
x=gcd(a[1],a[2]);
printf("%lld",(a[n]-a[1])/x+1);
return 0;
}上述代码运行发现可以通过给出的样例，但其实是不对的。
代码：
#include<stdio.h>
#define ll long long
ll cmp(const void *a,const void *b)
{
return *(int *)a>*(int *)b;
}
ll gcd(ll a, ll b)
{
return b? gcd(b,a%b):a;
}
/*
等差数列的项数公式：，an就是等差数列中的最大值，a1就是等差数列中的最小值
题目要求数列最短，因为最大值和最小值已经固定，所以要求的就是公差d
误区：数组两两之间的最小差值并非我们的公差！！！
例如：3，5，8；最小的差值是2，但是这三个数在内的等差数列其公差应该是1，
即3，4，5，6，7，8，所以这个地方我们需要对所有的差值求最大公约数
*/
int main()
{
ll n,a[100010],i,x=0;
scanf("%lld",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
qsort(&a[1],n,sizeof(a[1]),cmp);
for(i=2;i<=n;i++)
x=gcd(x,a[i]-a[i-1]);
if(x==0)
printf("%lld",n);
else
printf("%lld",(a[n]-a[1])/x+1);
return 0;
}
