Matlab（数值微积分）

news2024/10/7 14:30:08

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1.多项式微分与积分

1.1 微分

1.2 多项式微分

1.3 如何正确的使用Matlab?

1.3.1 Matlab表达多项式

1.3.2  polyval() 多项式求值

 1.3.3 polyder()多项式微分

1.4 多项式积分

1.4.1 如何正确表达

1.4.2 polyint() 多项式积分

2.数值的微分与积分

2.1 数值微分

 2.2 diff() 计算差值

  2.3 误差的准确性

 2.4 二阶、三阶导数

 2.5 数值积分

 2.5.1中点规则

 2.5.2 梯形规则（trapz）

2.5.3 辛普森积分法

2.5.4 三种积分方式比较

3.函数句柄

3.1 创建函数句柄

 3.1.1 有参数的句柄函数

3.1.2 无参数的句柄函数

3.1.3 无参且无括号

3.2 匿名函数

3.3 错误示范

3.4 integral() 数值积分

3.4.1 一级积分

3.4.2 integral2() 二级积分

3.4.3 integral3() 三级积分

1.多项式微分与积分

1.1 微分

  • 函数f(x)导数写为：F'(x)或者 \frac{df(x)}{dx}
  • 函数f(x)关于x的变化率

f (x0) 表示点x0处曲线相切的直线的系数。

1.2 多项式微分

对于一个多项式：f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}   来说，其微分多项式为：

f(x)=a_{n}nx^{n-1}+a_{n-1}(n-1)x^{n-2}+...+2a_{2}x+a_{1}

1.3 如何正确的使用Matlab?

1.3.1 Matlab表达多项式

f(x)=x^{3}-2x-5  

在上式中，我们用Matlab应该怎么进行表示（多项式在Matlab中被表示为行向量）

>> p=[1 0 -2 -5]

p =

     1     0    -2    -5

1.3.2  polyval() 多项式求值

语法：y=polyval(p,x)

y= polyval(p,x) 计算多项式 p 在 x 的每个点处的值。参数 p 是长度为 n+1 的向量，其元素是 n 次多项式的系数（降幂排序）：

p(x)=p_{1}x^{n}+p_{2}x^{n-1}+...+p_{n-1}x+p_{n}+1

示例1：

计算多项式 p(x)=3x^2+2x+1在点 x=5、7 、9 处的值。

>> p = [3 2 1];
x = [5 7 9];
y = polyval(p,x)

y =

    86   162   262

 示例2：

f(x)=9x^{3}-5x^{2}+3x+7   (-2<=x<=5) 

对该多项式进行画图求值

>> a = [9,-5,3,7]; x = -2:0.01:5;
f = polyval(a,x);
plot(x,f,'LineWidth', 2);%设置线条粗度
xlabel('x轴'); ylabel('f(x)');%设置xy轴名称
set(gca, 'FontSize', 14)%设置字体大小

 1.3.3 polyder()多项式微分

语法一：k=polyder(p)

k=polyder(p)返回的p中的系数表示的多项式的导数  k(x)=\frac{d}{dx}p(x)

示例：

创建一个向量来表示多项式 p(x)=3x^5−2x^3+x+5。

p = [3 0 -2 0 1 5];

 使用polyder对多项式进行求导，结果为： q(x)=15x^{4}-6x^{2}+1

q = polyder(p)
q = 1×5

    15     0    -6     0     1

 语法二：k= polyder(a,b) 返回多项式 a 和 b 的乘积的导数  k(x)=\frac{d}{dx}[a(x)b(x)]

示例：

创建两个向量来表示多项式 a(x)=x^4−2x^3+11 和 b(x)=x^2−10x+15。

a = [1 -2 0 0 11];
b = [1 -10 15];
q = polyder(a,b)
q = 1×6

     6   -60   140   -90    22  -110
最后的结果为:

语法三：[q,d] = polyder(a,b) 返回多项式 a 和 b 的商的导数 \frac{q(x)}{d(x)}=\frac{d}{dx}[\frac{a(x)}{b(x)}]

示例：

创建两个向量来表示商中的多项式    \frac{x^{4}-3x^{2}-1}{x+4}

p = [1 0 -3 0 -1];
v = [1 4];
[q,d] = polyder(p,v)
q = 1×5

     3    16    -3   -24     1

d = 1×3

     1     8    16

 结果为：

\frac{q(x)}{d(x)}=\frac{3x^{4}+16x^{3}-3x^{2}-24x+1}{x^{2}+8x+16}

1.4 多项式积分

对于一个多项式：f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}

 积分多项式为： \int f(x)=\frac{1}{n+1}a_{n}x^{n+1}+\frac{1}{n}a_{n-1}x^{n}+...+a_{0}x+k

1.4.1 如何正确表达

1.4.2 polyint() 多项式积分

语法：q=polyint(p,k) 如果只有的一个参数p，默认k是0，使用积分常量k返回p中的系数所表示的多项积分

示例：

对两个多项式的乘积求积分  I=\int_{0}^{2}(x^{5}-x^{3}+1)(x^{2}+1)dx

  • 创建向量来表示多项式
p = [1 0 -1 0 0 1];
v = [1 0 1];
  •  多项式相乘，并使用积分常量k=3对所生成的表达式求积分
k = 3;
q = polyint(conv(p,v),k)
q = 1×9

    0.1250         0         0         0   -0.2500    0.3333         0    1.0000    3.0000
  •  通过在积分范围上计算q来求解I的值
a = 0;
b = 2;
I = diff(polyval(q,[a b]))
I = 
     32.6667

2.数值的微分与积分

2.1 数值微分

  • 最简单的方法：有限差分近似法
  • 计算x附近的割线   f'(x_{0})=\lim_{h \to0 } \frac{f((x_{0}+h)-f(x_{0}))}{h}  

​

 2.2 diff() 计算差值

diff() 计算向量中相邻元素之间的差值

x = [1 2 5 2 1];
diff(x)

​

>> x = [1 2 5 2 1];
diff(x)

ans =

     1     3    -3    -1

 示例：

求出两点之间的斜率

​

>> x = [1 2]; y = [5 7];
slope = diff(y)./diff(x) %y的变化量/x的变化量

slope =

     2

  2.3 误差的准确性

 f'(x_{0})=\lim_{h \to0 } \frac{f((x_{0}+h)-f(x_{0}))}{h}  当f(x)=sin(x)   h=0.1、0.01、0.001s时误差有什么变化？

当h=0.1时：

>> x0 = pi/2; h = 0.1;
x = [x0 x0+h];
y = [sin(x0) sin(x0+h)];
m = diff(y)./diff(x)

m =

   -0.0500

当h=0.01时：

>> x0 = pi/2; h = 0.01;
x = [x0 x0+h];
y = [sin(x0) sin(x0+h)];
m = diff(y)./diff(x)

m =

   -0.0050

当h=0.001时：

>> 
x0 = pi/2; h = 0.001;
x = [x0 x0+h];
y = [sin(x0) sin(x0+h)];
m = diff(y)./diff(x)

m =

  -5.0000e-04

由分析得：所以当h->0时，误差越小

g = colormap(lines); hold on;
for i=1:4
x = 0:power(10, -i):pi;
y = sin(x); m = diff(y)./diff(x);
plot(x(1:end-1), m, 'Color', g(i,:));%每次微分，系数的个数少1
end
hold off;
set(gca, 'XLim', [0, pi/2]); set(gca, 'YLim', [0, 1.2]);
set(gca, 'FontSize', 18); set(gca, 'FontName', 'symbol');
set(gca, 'XTick', 0:pi/4:pi/2);
set(gca, 'XTickLabel', {'0', 'p/4', 'p/2'});
h = legend('h=0.1','h=0.01','h=0.001','h=0.0001');
set(h,'FontName', 'Times New Roman'); box on;

​

 2.4 二阶、三阶导数

f(x)=x^{3}     (-2<=x<=2)

>> x = -2:0.005:2; y = x.^3;
m = diff(y)./diff(x);
m2 = diff(m)./diff(x(1:end-1));
plot(x,y,x(1:end-1),m,x(1:end-2),m2);%每次导数系数减1
xlabel('x', 'FontSize', 18);
ylabel('y', 'FontSize', 18);
legend('f(x) =x^3','f''(x)','f''''(x)');
set(gca, 'FontSize', 18);

​

 2.5 数值积分

s=\int_{a}^{b}f(x)d(x)\approx \sum_{i=0}^{n}f(x_{i})\int_{a}^{b}L_{i}(x)dx

  • 求积法——用有限集点逼近积分

​

​

 2.5.1中点规则

​

 示例：

我们通过积分可以求得：

A=\int_{0}^{2}4x^{3}dx=x^{4}|_{0}^{2}=(2)^{4}-(0)^{4}=16

但是我们通过中点积分可得：

>> h = 0.05; x = 0:h:2;
midpoint = (x(1:end-1)+x(2:end))./2;
y = 4*midpoint.^3;
s = sum(h*y)

s =

   15.9950

解释：

midpoint = (x(1:end-1)+x(2:end))./2;

​

 2.5.2 梯形规则（trapz）

​

 A=\int_{0}^{2}4x^{3}dx=x^{4}|_{0}^{2}=(2)^{4}-(0)^{4}=16

>> h = 0.05; x = 0:h:2; y = 4*x.^3;
s = h*trapz(y)

s =

   16.0100

我们也可以自定义该函数：

h = 0.05; x = 0:h:2; y = 4*x.^3;
trapezoid = (y(1:end-1)+y(2:end))/2;
s = h*sum(trapezoid)

s =

   16.0100

2.5.3 辛普森积分法

​

 A=\int_{0}^{2}4x^{3}dx=x^{4}|_{0}^{2}=(2)^{4}-(0)^{4}=16


>> h = 0.05; x = 0:h:2; y = 4*x.^3;
s = h/3*(y(1)+2*sum(y(3:2:end-2))+...
4*sum(y(2:2:end))+y(end))

s =

    16

2.5.4 三种积分方式比较

​

由分析易得： 辛普森积分法误差最小

3.函数句柄

       函数句柄是一种存储指向函数的关联关系的Matlab数据类型，间接调用函数使您在调用函数时无需考虑调用位置，函数句柄的典型用法包括：

  • 将一个函数传递到另一个函数（通常称为复合函数）
  • 指定回调函数
  • 构造以内联方式定义而非存储在程序文件(匿名函数)中的函数句柄
  • 从主函数外调用局部函数

查看h是否是函数句柄

isa(h,'function_handle')

3.1 创建函数句柄

通过在函数名称前添加一个 @ 符号来为函数创建句柄。

f = @myfunction;

 3.1.1 有参数的句柄函数

使用句柄调用函数的方式与直接调用函数一样，例如：

function y = computeSquare(x)
y = x.^2;
end

创建句柄并调用该函数以计算 4 的平方。

f = @computeSquare;
a = 4;
b = f(a)
b =

    16

3.1.2 无参数的句柄函数

如果该函数不需要任何输入，则您可以使用空括号调用该函数，例如：

h = @ones;
a = h()
a =

    1

3.1.3 无参且无括号

如果不使用括号，则该赋值会创建另一个函数句柄。

a = h
a = 

    @ones

3.2 匿名函数

        您可以创建指向匿名函数的句柄。匿名函数是基于单行表达式的 MATLAB 函数，不需要程序文件。构造指向匿名函数的句柄，方法是定义 anonymous_function 函数主体，以及指向匿名函数 arglist 的以逗号分隔的输入参数列表。语法为：

h = @(arglist)anonymous_function

例如，创建一个指向用于计算平方数的匿名函数的句柄 sqr，并使用其句柄调用该匿名函数。

sqr = @(n) n.^2;
x = sqr(3)
x =

     9

3.3 错误示范

function [y] = xy_plot(input,x)
% xy_plot receives the handle of a function
% and plots that function of x
y = input(x); plot(x,y,'r--');
xlabel('x'); ylabel('function(x)');
end

>> xy_plot(sin,0:0.01:2*pi)
错误使用 sin
输入参数的数目不足。

       调用参数的时候，如果该参数也是一个函数，这个时候直接将函数当成参数输入进去是不妥的，会直接报错，这个时候我们就需要句柄

>> 
xy_plot(@sin,0:0.01:2*pi)

ans =

  列 1 至 11

         0    0.0100    0.0200    0.0300    0.0400    0.0500    0.0600    0.0699    0.0799    0.0899    0.0998

  列 12 至 22

    0.1098    0.1197    0.1296    0.1395    0.1494    0.1593    0.1692    0.1790    0.1889    0.1987    0.2085

  列 23 至 33

    0.2182    0.2280    0.2377    0.2474    0.2571    0.2667    0.2764    0.2860    0.2955    0.3051    0.3146
...

3.4 integral() 数值积分

3.4.1 一级积分

\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{3}-2x-5}dx

我们通过句柄该怎么去解决呢？

>> y = @(x) 1./(x.^3-2*x-5);
integral(y,0,2)

ans =

   -0.4605

3.4.2 integral2() 二级积分


>> f = @(x,y) y.*sin(x)+x.*cos(y);
integral2(f,pi,2*pi,0,pi)

ans =

   -9.8696

3.4.3 integral3() 三级积分


>> f = @(x,y,z) y.*sin(x)+z.*cos(y);
integral3(f,0,pi,0,1,-1,1)

ans =

    2.0000

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