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【广搜】【上限证明】【图论】

题目来源

1654. 到家的最少跳跃次数.
在这里插入图片描述

题目解读

找到从位置 0 跳跃到位置 x 的最小跳跃次数，跳跃规则如下：

前进方向跳 a 个位置；
后退方向跳 b 个位置；
不能连续后退 2 次，也就是说，上一次是后退的，这次一定要前进；上次是前进的，这次可以前进也可以后退。
有一个禁止数组 forbidden，表示禁止到达的位置。

如果没有合适的跳跃方案返回 -1。

解题思路

本题求最小跳跃次数，是最短路问题。最短路问题一般都需要使用广度优先搜索，本题中的图是一个无限的图（因为有可能超过 x 位置后，还一直前进），因此需要限制搜索范围，否则无法处理无解的情况。

题目中已经给出了搜索的下限，不能跳到负整数位置，即下限 lower = 0，关于上限的寻找与证明，参考的是 newhar 的解答。

a >= b 即一次的前进距离大于等于后退距离时，当到达的位置大于 x + b 时，最多只能后退一次，也到不位置 x。这时不论怎么跳都不会到达位置 x 了。此时的搜索上限是 x + b。
a < b 即一次的前进距离小于后退距离时，上限为 max(f + a +b, x) 具体证明请参考 newhar 的题解；
最终的上限定为 upper = max(f + a + b, x + b)。

找到了搜索的下限与上限之后，在该范围内进行广度优先搜索，当前位置到达 x 处，返回对应的步数；直到在范围内搜索无结果，最终返回 -1。

实现细节

维护一个队列，存放三元组 pos、dir、step，分别表示 当前的位置、上一个是前进还是后退（前进为 1，后退为 -1）、当前的步数。

维护一个已经到达的位置和方向的集合，存放 位置*方向。

将 forbidden 数组存入集合中，方便查找。

在进行 while 循环时，无论上次是前进还是后退的，这次都可以前进。上次是前进的话，还可以前进。

实现代码

class Solution {
public:
    int minimumJumps(vector<int>& forbidden, int a, int b, int x) {
        queue<tuple<int, int, int>> q;  // 三元组（位置，方向，步数）
        unordered_set<int> visited;     // 已经到达的位置和方向 1表示前进 -1表示后退 存放位置*方向
        q.emplace(0, 1, 0);
        visited.emplace(0);

        int lower = 0, upper = max(*max_element(forbidden.begin(), forbidden.end()) + a, x) + b;
        unordered_set<int> forbSet(forbidden.begin(), forbidden.end());
        while (!q.empty()) {
            auto [pos, dir, step] = q.front();
            q.pop();
            // 到达位置，返回步数
            if (pos == x) {
                return step;
            }

            // 不论上一步是前进还是后退的，这一步都可以前进
            int nextPos = pos + a;
            int nextDir = 1;
            if (lower <= nextPos && nextPos <= upper && !visited.count(nextPos * nextDir) && !forbSet.count(nextPos)) {
                visited.emplace(nextPos * nextDir);
                q.emplace(nextPos, nextDir, step + 1);
            }

            // 如果上一步是前进的，这一步还可以后退
            if (dir == 1) {
                nextPos = pos - b;
                nextDir = -1;
                if (lower <= nextPos && nextPos <= upper && !visited.count(nextPos * nextDir) && !forbSet.count(nextPos)) {
                    visited.emplace(nextPos * nextDir);
                    q.emplace(nextPos, nextDir, step + 1);
                }
            }
        }
        // 到达搜索上限后，仍然没有找到合适的跳跃方案，返回 -1
        return -1;
    }
};