文章目录
- 矩阵等价
- 相似
- 合同
- 等价、相似、合同的关系
矩阵等价
1.定义：A,B均为m×n型矩阵，若 r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B) ，则矩阵A、B等价 【型同，秩等】
相似
1.定义：n阶方阵A,B，若ョ可逆矩阵P，使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B，则A与B相似，记作A~B
2.性质：
①A，B相似，则特征值相同
合同
1.定义：n阶方阵A,B，若ョ可逆矩阵P，使得 P T A P = B P^TAP=B PTAP=B，则A与B合同
2.性质：
①A，B合同，则正负惯性指数相同
②与一个实对称矩阵合同的矩阵，也必须是实对称矩阵。 [选择题技巧]
证明：
若A，B合同，则存在可逆矩阵P使得 P T A P = B P^TAP=B PTAP=B。
若A为实对称矩阵，则 A T = A A^T=A AT=A
则 B T = ( P T A P ) T = P T A T ( P T ) T = P T A T P = P T A P = B B^T=(P^TAP)^T=P^TA^T(P^T)^T=P^TA^TP=P^TAP=B BT=(PTAP)T=PTAT(PT)T=PTATP=PTAP=B，∴B也为实对称矩阵
等价、相似、合同的关系
1.关系
2.当存在正交矩阵Q使得，A,B相似时，此时A,B也合同。
即存在正交矩阵Q使得
Q
−
1
A
Q
=
B
=
Q
T
A
Q
Q^{-1}AQ=B=Q^TAQ
Q−1AQ=B=QTAQ
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