一、模板①：向下取整（mid = (l + r) >> 1）
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1; // 等价于 (l + r) / 2（向下取整）
if (check(mid)) r = mid; // 保留左半区
else l = mid + 1; // 舍弃左半区
}适用场景
-
查找左边界（最小值）
- 例如：在有序数组中找到 第一个大于等于目标值 的位置
- 逻辑：当
check(mid)满足条件时，说明目标值可能在左半区（包括mid），因此右边界r缩小到mid；否则，左边界l移动到mid + 1。 - 关键特征：区间收缩时 保留左半区，
mid向下取整可避免死循环
-
寻找满足条件的最小值
- 例如：求满足
x² ≤ target的最大整数x（即平方根的整数部分） - 原因：向下取整确保中间值偏向左侧，逐步逼近最小可行解。
- 例如：求满足
二、模板②：向上取整（mid = (l + r + 1) >> 1）
while (l < r) {
int mid = l + r + 1 >> 1; // 等价于 (l + r + 1) / 2（向上取整）
if (check(mid)) l = mid; // 保留右半区
else r = mid - 1; // 舍弃右半区
}适用场景
-
查找右边界（最大值）
- 例如：在有序数组中找到 最后一个小于等于目标值 的位置
- 逻辑：当
check(mid)满足条件时，说明目标值可能在右半区（包括mid），因此左边界l移动到mid；否则，右边界r缩小到mid - 1。 - 关键特征：区间收缩时 保留右半区，
mid向上取整可防止循环卡死
-
寻找满足条件的最大值
- 例如：求巧克力切割的最大边长，使得总块数满足要求
- 原因：向上取整确保中间值偏向右侧，逐步逼近最大可行解。
三、核心区别与选择依据
| 特征 | 模板①（向下取整） | 模板②（向上取整） |
|---|---|---|
mid 计算 | mid = (l + r) / 2 | mid = (l + r + 1) / 2 |
| 区间收缩 | 保留左半区（r = mid） | 保留右半区（l = mid） |
| 适用方向 | 左边界、最小值、左侧优先 | 右边界、最大值、右侧优先 |
| 防死循环 | 确保 l 和 r 逐步靠近 | 避免 l 和 r 无法缩小范围 |
选择原则
- 分析问题目标：明确是找左边界还是右边界，是求最小值还是最大值。
- 观察区间更新：若更新
l = mid，则必须向上取整；若更新r = mid，则需向下取整 - 验证边界条件：通过极端用例（如
l和r相邻时）检查是否可能陷入死循环。
例题：
问题描述
小蓝有一个神奇的炉子用于将普通金属 O 冶炼成为一种特殊金属 X。这个炉子有一个称作转换率的属性 V，V 是一个正整数，这意味着消耗 V 个普通金属 O 恰好可以冶炼出一个特殊金属 XX，当普通金属 O 的数目不足 V 时，无法继续冶炼。
现在给出了 N 条冶炼记录，每条记录中包含两个整数 A 和 B，这表示本次投入了 A 个普通金属 O，最终冶炼出了 B 个特殊金属 X。每条记录都是独立的，这意味着上一次没消耗完的普通金属 O 不会累加到下一次的冶炼当中。
根据这 N 条冶炼记录，请你推测出转换率 V 的最小值和最大值分别可能是多少，题目保证评测数据不存在无解的情况。
输入格式
第一行一个整数 N，表示冶炼记录的数目。
接下来输入 N 行，每行两个整数 A、B，含义如题目所述。
输出格式
输出两个整数，分别表示 V 可能的最小值和最大值，中间用空格分开。
#include<bits/stdc++.h> // 包含所有标准库头文件（实际工程中不建议使用）
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i < b; i++) // 简化循环的宏定义
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10; // 定义常量（但代码中未实际使用）
int n;
// 二分查找函数：寻找满足条件的最大/最小值[6,8](@ref)
int get(int a, int b)
{
int l = 1, r = a; // 初始化搜索范围为[1, a]
while(l < r) // 标准二分查找结构[7](@ref)
{
int mid = l + r >> 1; // 等效于(l + r)/2（向下取整）
// 核心判断条件：当a/mid <= b时，收缩右边界
if(a / mid <= b)
r = mid; // 满足条件时尝试更小的值
else
l = mid + 1; // 不满足条件时增大下界
}
return r; // 最终收敛到满足条件的最小值[8](@ref)
}
int main()
{
cin >> n; // 读取输入的对数
// 初始化极值（minv为下限，maxv为上限）
int minv = 1; // 最小值的初始下界
int maxv = 1e9; // 最大值的初始上界
int a, b;
rep(i, 0, n) // 遍历每个输入对
{
scanf("%d%d", &a, &b);
// 关键逻辑：对多个区间取交集[10,11](@ref)
// 更新最小值下限（取所有区间的最大左端点）
minv = max(minv, get(a, b));
// 更新最大值上限（取所有区间的最小右端点）
maxv = min(maxv, get(a, b - 1) - 1);
}
// 输出最终的交集区间
cout << minv << " " << maxv;
return 0;
}问题描述
儿童节那天有 K 位小朋友到小明家做客。小明拿出了珍藏的巧克力招待小朋友们。
小明一共有 N 块巧克力，其中第 i 块是 Hi×Wi 的方格组成的长方形。为了公平起见，
小明需要从这 N块巧克力中切出 K 块巧克力分给小朋友们。切出的巧克力需要满足：
-
形状是正方形，边长是整数;
-
大小相同;
例如一块 6×5 的巧克力可以切出 6 块 2×2 的巧克力或者 2 块 3×3 的巧克力。
当然小朋友们都希望得到的巧克力尽可能大，你能帮小明计算出最大的边长是多少么？
输入描述
第一行包含两个整数 N,K (1≤N,K≤105)。
以下 N 行每行包含两个整数 Hi,Wi (1≤Hi,Wi≤105)。
输入保证每位小朋友至少能获得一块 1x1 的巧克力。
输出描述
输出切出的正方形巧克力最大可能的边长。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5; // 定义常数N，表示矩形数量的上限
int h[N],w[N]; // 定义两个数组，分别存储每个矩形的高和宽
int n,k,m; // 定义变量n表示矩形数量，k表示目标正方形数量，m用于存储矩形尺寸的最大值
// 定义一个检查函数，判断给定的正方形边长mid是否满足条件
bool check(int mid){
int sum=0; // 用于计算可以切割出的正方形数量
for(int i=0;i<n;i++){ // 遍历每个矩形
sum+=(h[i]/mid)*(w[i]/mid); // 计算当前矩形可以切割出的正方形数量，并累加到sum中
}
if(sum>=k){ // 如果满足至少k个正方形的要求
return true; // 返回true
}else{
return false; // 否则返回false
}
}
void solve(){
int l=1,r=m; // 定义二分查找的左右边界，l为最小可能边长1，r为矩形的最大尺寸
while(l<r){ // 当左边界小于右边界时，继续二分查找
int mid=l+(r-l)/2; // 计算中点，并向上取整（因为l+r可能是奇数）
if(check(mid)){ // 如果mid满足条件
l=mid; // 更新左边界为mid，继续寻找更小的满足条件的边长
}else{
r=mid-1; // 否则，更新右边界为mid-1，寻找更大的边长
}
}
cout<<l<<'\n'; // 输出最小的满足条件的边长
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0); // 取消C++和C的输入输出同步，加快输入输出速度
cin.tie(0); // 解除cin与cout的绑定，加快输入输出速度
cout.tie(0);
cin>>n>>k; // 输入矩形数量n和目标正方形数量k
for(int i=0;i<n;i++){ // 遍历每个矩形
cin>>h[i]>>w[i]; // 输入矩形的高和宽
m=max(h[i],m); // 更新m为矩形尺寸的最大值
m=max(w[i],m);
}
solve();
return 0;
}
