今日主要总结一下动态规划的一道题目，121. 买卖股票的最佳时机

题目：121. 买卖股票的最佳时机

Leetcode题目地址
题目描述：
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 104

方法一、贪心算法

首先这道题目可以用贪心算法来解决：
因为股票就买卖一次，那么贪心的想法很自然就是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润。

C++代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int res = 0;
        int lowPrice = INT_MAX;
        for(int i = 0; i < prices.size(); i++){
            lowPrice = min(lowPrice, prices[i]);
            res = max(res, prices[i] - lowPrice);
        }
        return res;
    }
};

本题重难点

在买卖股票的最佳时机问题的整个系列题目中使用贪心算法仅仅可以解决某个具体场景的问题，但是并不通用，而动态规划思想解决买卖股票的最佳时机整个系列问题是通用连续递进的！

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，这里可能有同学疑惑，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢？
   其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]， 这是一个负数。
   dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
   注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态
   很多同学把“持有”和“买入”没分区分清楚。
   在下面递推公式分析中，我会进一步讲解。

2. 确定递推公式
   如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
   第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
   第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]
   那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
   如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来
   第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
   第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
   同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
   这样递归公式我们就分析完了

3. dp数组如何初始化
   由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出
   其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。
   那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];
   dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;

4. 确定遍历顺序
   从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

5. 举例推导dp数组

以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：

方法二、 动态规划未优化代码

C++代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        vector<vector<int>>dp(prices.size(), vector<int>(2, 0));
        dp[0][0] = - prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i = 1; i < prices.size(); i++){
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], - prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[prices.size() -  1][1];
    }
};

方法三、 动态规划优化代码

从递推公式可以看出，dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态。
那么我们只需要记录 当前天的dp状态和前一天的dp状态就可以了，可以使用滚动数组来节省空间，代码如下：

C++代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2)); // 注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], -prices[i]);
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);
        }
        return dp[(prices.size() - 1) % 2][1];
    }
};

---

总结

动态规划
英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的

对于动态规划问题，可以拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

这篇文章主要总结了一些动态规划解决121. 买卖股票的最佳时机问题，依然是使用动规五部曲，做每道动态规划题目这五步都要弄清楚才能更清楚的理解题目！

在买卖股票的最佳时机问题的整个系列题目中使用贪心算法仅仅可以解决某个具体场景的问题，但是并不通用，而动态规划思想解决买卖股票的最佳时机整个系列问题是通用连续递进的，最好掌握一下，并且最后给出了使用滚动数组优化空间复杂度的代码！
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