【2023 华数杯全国大学生数学建模竞赛】 A题 隔热材料的结构优化控制研究 问题分析、模型建立和参考文献

1 题目

A 题 隔热材料的结构优化控制研究

新型隔热材料 A 具有优良的隔热特性，在航天、军工、石化、建筑、交通等高科技领域中有着广泛的应用。

目前，由单根隔热材料 A 纤维编织成的织物，其热导率可以直接测出；但是单根隔热材料 A 纤维的热导率（本题实验环境下可假定其为定值），因其直径过小，长径比（长度与直径的比值）较大，无法直接测量。单根纤维导热性能是织物导热性能的基础，也是建立基于纤维的各种织物导热模型的基础。建立一个单根隔热材料 A 纤维的热导率与织物整体热导率的传热机理模型成为研究重点。该模型不仅能得到单根隔热材料 A 纤维的热导率，解决当前单根 A 纤维热导率无法测量的技术难题；而且在建立的单根隔热材料 A 纤维热导率与织物热导率的关系模型的基础上，调控织物的编织结构，进行优化设计，能制作出更好的满足在航天、军工、石化、建筑、交通等高科技领域需求的优异隔热性能织物。

织物是由大量单根纤维堆叠交织在一起形成的网状结构，本题只研究平纹织物，如图 1 和图 2 所示。不同直径纤维制成的织物，其基础结构参数不同，即纤维弯曲角度、织物厚度、经密、纬密等不同，从而影响织物的导热性能。本题， 假设任意单根 A 纤维的垂直切面为圆形，织物中每根纤维始终为一个有弯曲的圆柱。经纱、纬纱弯曲角度 10° < $\theta$≤ 26.565°。

热导率是纤维和织物物理性质中最重要的指标之一。织物的纤维之间存在空隙，空隙里空气为静态空气，静态空气热导率 0.0296 W/(mK)。计算织物热导率时既考虑纤维之间的传热，也不能忽略空隙中空气的传热。

图 1. 平纹织物截面示意图

图 2. 平纹织物三维图

在 25℃实验室环境下，用 Hotdisk 装置对织物进行加热和测量，Hotdisk 恒定功率为 1mW，作用时间 1s，在 0.1s 时热流恰好传递到织物另一侧。实验测得 0~0.1s 之间织物位于热源一侧的温度随时间变化的数据见附件1，如下。

附件1 温度随时间变化的数据

时刻（s）	温度（℃）
0	25.000
0.02	25.575
0.04	25.693
0.06	25.807
0.08	25.896
0.10	25.971

实验样品参数：

单根A纤维的直径d=0.6mm，织物的厚度h=2d，经密为${\rho }_s=60根/10cm$，纬密为${\rho }_w=80根/10cm$，经纱弯曲角度${\theta }_s=19.8度$、纬纱弯曲角度${\theta }_w=25.64度$，织物整体的比热为$0.05MJ/m^{3}K$，织物整体热扩散率为$0.663m{m}^2/s$。

请建立数学模型，回答下列问题:

问题 1：假设附件1的温度为热源侧织物的表面温度，只考虑纤维传热和空隙间的气体传热，建立平纹织物整体热导率与单根纤维热导率之间关系的数学模型。在附件 2 的实验样品参数条件下，测得如图 2 所示的平纹织物的整体热导率为 0.033W/(mK)，请根据建立的数学模型计算出单根 A 纤维的热导率。

问题 2：假设：1）制成织物的任意单根 A 纤维的直径在 0.3 ~0.6 。2）织物位于热源一侧表面温度随时间的变化的数据依旧参考表 1。3）由于温度和织物结构造成的织物整体密度和比热的变化可以忽略。请问如何选用单根 A 纤维的直径及调整织物的经密、纬密、弯曲角度，使得织物的整体热导率最低。

问题 3：如果附件 1 的温度实际是热源侧织物表面空气的温度，此时该侧就会发生对流换热，假定织物表面的对流换热系数为 50 W/(m2K)，请重新解答问题一和问题二。

2 问题分析

2.1 问题一

这个题是求解单根纤维的热导率。首先对于平纹织物整体的传热机理，考虑纤维传热和空隙中气体传热两部分，可以通过建立织物宏观热导率与纤维热导率的关系模型来求解单根纤维的热导率。其次，纤维的形态为圆柱形，由斯托克斯方程和能量方程得到纤维内部的流场、温度场分布以及纤维表面和空气介质之间传热的热阻，进而求得单根纤维的热导率。最后，织物整体的热导率可以通过实验数据和热传导方程计算得出，同时可以用该结果反推出单根纤维的热导率。

要用的数学模型有：

1. 斯特克斯方程和能量方程。

2. 圆柱坐标系下的热传导方程和边界条件。

3. 非线性最小二乘法模型拟合分析。

4. 由热传导方程和实验数据求解织物整体热导率的一维热传导问题。

2.2 问题二

这个题是分析如何选用单根A纤维的直径以及如何调整织物的经密、纬密、弯曲角度来使织物的整体热导率最低。首先，需要理解织物的热传导过程。织物的热传导一般可以看作是通过纤维之间的热传递而实现的。因此，需要考虑纤维的热传导性能对织物整体热导率的影响。其次，直径对于纤维的热传导性能具有影响。一般来说，直径越大，纤维之间的热传导能力越差，导致整体热导率降低。反之，直径越小，纤维之间的热传导能力越好，导致整体热导率增加。此外，经密、纬密以及弯曲角度也会影响织物的整体热导率。通过调整经密、纬密以及弯曲角度，可以改变纤维之间的接触面积和接触长度，从而影响热传导的效果。

要用的数学模型有：

1. 热传导模型来描述纤维间的热传导过程。比如热传导方程（Fourier热传导定律），其中考虑纤维的直径和热导率等参数。
2. 密度和比热的改变对热传导的影响进行简化处理。
3. 最后采用有限差分或有限元方法对热传导模型进行求解，最后求解得织物的整体热导率。

2.3 问题三

考虑了对流换热，则织物表面的温度不再是单纯的纤维和空气的热阻相加，还考虑了对流传热的影响。此时可以建立
。。。略

2.4 问题四

考虑到热源侧表面空气的对流换热，需要重新定义织物的热传导模型，并通过数学模型来考虑对流传热的影响。
。。。略

3 数学模型

3.1 问题一

首先建立织物宏观热导率与纤维热导率的关系模型。织物的宏观热传导方程为：
$$q=-\lambda \nabla T$$

其中，$q$为单位时间内通过单位面积的热流量，$\lambda$为织物的宏观热导率，$\nabla T$为温度场的梯度。

假设织物中仅由纤维和空气组成，不考虑织物中的其他因素，即织物为均质各向同性材料，且织物中的所有纤维方向平行于织物表面。将织物分解为一个纤维网格和空气间隙，假设纤维和空气间隙之间为点接触，且接触点处的热阻可忽略不计，则可以得到平纹织物整体热导率与单根纤维热导率之间的关系：

$$\lambda =\varphi {\lambda }_f+(1-\varphi ){\lambda }_a$$

其中，${\lambda }_f$为单根纤维的热导率，${\lambda }_a$为空气的热导率，$\varphi$为纤维的体积分数。

考虑空气在空隙中的传热，根据气体热传导方程可得到空气的热导率：

$${\lambda }_a=\frac{K}{3}{C}_p$$

其中，$K$为气体的热导率系数，$C_p$为气体的比热容。

织物中纤维的体积分数可以由织物的几何参数和纤维的半径等信息计算得到：

$$\varphi =\frac{{\rho }_s\pi (d/2{)}^2}{{\rho }_s\pi (d/2{)}^2+{\rho }_w\pi (d/2{)}^2+(h-\pi d^2/4)(1-\pi /4)}=\frac{4{\rho }_s}{3{\rho }_s+4{\rho }_w}$$

其中，${\rho }_s$为经密，${\rho }_w$为纬密，$d$为单根纤维的直径，$h$为织物厚度。

综合上述公式，得到织物宏观热导率与单根纤维热导率之间的关系：

$$\lambda =\frac{4{\rho }_s}{3{\rho }_s+4{\rho }_w}{\lambda }_f+\frac{K}{3}{C}_p\left(1-\frac{4{\rho }_s}{3{\rho }_s+4{\rho }_w}\right)$$

。。。略

最后，根据附件1的实验数据和热传导方程求解织物整体热导率。

设织物所在的平面为$x-y$平面，$z$轴为垂直于平面的方向，$x$和$y$轴分别沿织物的经纬方向。根据一维热传导方程可得到：

$$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}$$

其中，$\alpha$为热扩散率。

根据实验数据，分别求出0s、0.02s等时刻的温度分布情况，然后根据热传导方程，利用差分法可以得到织物整体在各时间点上的热传导方程。根据最小二乘拟合方法和热传导方程，可求解出织物整体的热导率，从而用问题1中的公式反推出单根纤维的热导率。

3.2 问题二

首先将织物的整体热导率表示为纤维之间的热传导贡献和空隙中的热传导贡献之和，即：

$$\lambda ={\lambda }_{fiber}+{\lambda }_{air}$$

其中，${\lambda }_{fiber}$表示纤维之间的热传导贡献，${\lambda }_{air}$表示空隙中的热传导贡献。

接下来，分别对两部分进行推导。

（1）纤维间热传导

假设每根纤维在织物中的分布为平行于织物表面的几何图形，纵向上呈现柱状分布。从而对于每根纤维，可以将其看作是一个长为$L$，截面积为$A$的柱形，柱形中心线与织物表面平行。

设纤维间的热传导为$q$，则有：

$$q=\frac{{\lambda }_{fiber}A}{L}\Delta T$$

其中，$\Delta T$表示织物两侧的温度差。由于纤维材料为隔热材料，因此纤维热导率为${\lambda }_{fiber}={\lambda }_A$。

有了热传导公式，需要考虑如何计算织物的总热导率。对于平纹织物，经纬纱的弯曲角度$\theta$一般取值$10°<\theta \le 26.565°$，经密${\rho }_s$和纬密${\rho }_w$可根据织物的尺寸精度确定，织物的厚度$h$和每根纤维的直径$d$都已知。

基于此，可以推导出单位面积织物的纤维数目$n$：

$$n=\frac{{\rho }_s+{\rho }_w}{d^2}$$

因此，可以将织物中纤维间的热传导总贡献表示为：

$${\lambda }_{fiber}=n\frac{{\lambda }_A}{L}kd$$

其中，$k=\frac{\sqrt{\pi }}{4sin\theta }$，即纤维之间的接触系数。

（2）空隙中热传导

。。。略

接下来，需要对模型进行求解以确定最佳方案。首先，在假设给定单根纤维A的直径的前提下，需要调整织物的经密、纬密以及弯曲角度来最小化织物的总热导率。这可以转化为寻找使得织物总热导率$\lambda$最小的经密、纬密及弯曲角度组合。

对于此类极值问题，常用的方法是使用数值优化算法。在本问题中，可以使用Python中的SciPy库中的minimize函数来实现数值求解。

其中，需要进行数值优化的目标函数为：

$$f(x)=n\frac{{\lambda }_A}{L}kd+\frac{{\lambda }_{air}{S}_h}{{\delta }_h}$$

其中，$x$表示包含经密、纬密及弯曲角度的参数向量。

同时，需要考虑约束条件：

$$10°<{\theta }_s\le 26.565°$$

$$10°<{\theta }_w\le 26.565°$$

$$0.3mm\le d\le 0.6mm$$

最后使用优化方法进行求解，将织物总热导率表示为目标函数，将弯曲角度、每根纤维的直径、经密和纬密作为优化变量，将上述三个约束条件表示为约束函数。优化有MATLAB的工具箱和Python中Scipy中optimize工具箱。

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