Python实现蚁群优化算法，求解旅行商问题

news2024/9/22 1:47:03

文章目录

- 蚁群算法
- 蚂蚁的基本变量
- 蚂蚁的优化流程
- 蚁群优化
- 验证与可视化

蚁群算法

蚁群算法是Colori A等人在1991年提出的，通过模仿蚂蚁觅食行为，抽象出信息素这一奖惩机制，从而赋予蚂蚁智能Agent的身份，使之得以在最佳路线问题中大展身手。

现有一群蚂蚁想从 $A_0$ 点走到 $A_n$ 点，假设两点中间有多条路径可以选择，蚂蚁不知道哪条路更近，所以最开始无论选择哪条路，机会都是相等的。但是，当某一条路有蚂蚁走过之后，就会留下信息素，如果每一只蚂蚁的速度是恒定的，那么路程越短，蚂蚁在这条路上往返也就越快，反过来说，单位时间内，越短的路会有更多的蚂蚁走过，从而留下的信息素就会越多，这就是蚁群算法的基本原理了。

当不同路径均留下信息素后，蚂蚁们再行选择路线就不是等概率的了，他们会有更大的概率选择信息素更浓的路线。随着时间的推演，信息素也会挥发，从而蚂蚁们不断更新他们的路线，这个过程就是蚁群优化(Ant Clony Optimization, ACO)。

蚂蚁的基本变量

很显然，蚁群算法的前提是来一群蚂蚁对象，而蚂蚁作为一个智能体，至少要有一些记忆，需要记住以下内容

城市个数
城市地图
每个城市留下的信息素
已经走过和尚未到达的城市
移动的步数
已经走过的距离

而经过初始化之后，这个蚂蚁必须得来到某个城市，所以需要一个随机选择城市的函数，下面就是一个蚂蚁所必备的初始化流程

import numpy as np
from functools import reduce

class Ant(object):
    def __init__(self, nCity, graph, pheromone):
        self.nCity = nCity          # 城市数
        self.graph = graph          # 城市地图
        self.pheromone = pheromone  # 信息素地图
        self.cityEnabled = [True] * nCity  # 尚未到达的城市标记
        self.nMove = 0              # 移动步数
        self.dTotal = 0.0           # 已经走过的距离
        self.initData()             # 初始化出生点
    
    # 随机选择城市
    def randCity(self):
        return np.random.randint(0,self.nCity-1) 

    # 初始化
    def initData(self):
        self.nowCity = self.randCity()          # 随机选择一个城市
        self.path = [self.nowCity]              # 保存当前走过的城市
        self.cityEnabled[self.nowCity] = False  # 当前城市不再探索
        self.nMove = 1                          # 初始时的移动计数

蚂蚁的优化流程

某只蚂蚁在初始化之后，就要通过它敏锐的“嗅觉”选择下一个城市，直到走完所有城市为止。而选择城市时，需要用到信息素地图作为判断依据。信息素浓度为 $p$ ，两点距离为 $d$ ，则蚂蚁前往该城市的概率为

$p^\alpha/d^\beta$

其中， $\alpha$ 和 $\beta$ 分别叫做信息素启发因子和期望启发因子，故而在Ant类中新建方法：

# 计算到达第i个城市的概率
def getOneProb(self, i):
    ALPHA = 1.0
    BETA = 2.0
    dis = self.graph[self.nowCity][i]
    phe = self.pheromone[self.nowCity][i]
    # 计算移动到该城市的概率
    if not self.cityEnabled[i]: return 0  
    else: return pow(phe, ALPHA) * pow(1/dis, BETA)

有了这个，就可以得到去所有城市的概率，然后随机则取

def choiceNext(self):
    # 前往所有城市的概率
    pSlct = [self.getOneProb(i) for i in range(self.nCity)]
    pSum = np.cumsum(pSlct)
    # 生成一个随机数，这个随机数在pSum中落入的区间就是选择的城市
    pTemp = np.random.uniform(0.0, pSum[-1])
    return  np.searchsorted(pSum, pTemp)

在选中接下来前往的城市之后，就要动身前往

# 移动到新的城市
def moveTo(self, city):
    self.path.append(city)          # 添加目标城市
    self.cityEnabled[city] = False  # 目标城市不可再探索
    # 总路程增加当前城市到目标城市的距离
    self.dTotal += self.graph[self.nowCity][city]  
    self.nowCity = city             # 更新当前城市
    self.nMove += 1                 # 移动次数

唯一需要注意的是，旅行商问题要求走一圈，也就是说，当走遍所有城市之后，要记得把第一个城市和最后一个城市的距离添加到全部路程当中，故其总的搜索流程如下

def run(self):
    self.initData()
    while self.nMove < self.nCity:
        next_city = self.choiceNext()
        self.moveTo(next_city)
    self.dTotal += self.graph[self.path[0]][self.path[-1]]
    return self.dTotal

至此，就实现了一个蚂蚁类。

蚁群优化

有了蚂蚁，那么接下来就要有蚁群，以及适用于蚁群算法的城市网点。设城市坐标序列为 $x_i$ 和 $y_i$ ，则根据这组坐标点的个数就是城市数nCity，而城市距离矩阵可表示为

$G_{ij} = \sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2}$

另一方面，蚁群优化过程中，信息素更新至关重要，其值受到两个因素影响，一是蚂蚁走过会使之增加，二则是时间流逝会使之挥发，故而需要有一个挥发系数RHO。信息素更新函数如下

# 更新信息素
RHO = 0.5       # 信息素挥发系数

def updatePheromone(nCity, pheromone, ants):
    # 初始化蚂蚁在两两城市间的信息素, 50行50列
    temp = np.zeros([nCity, nCity])
    # 遍历每只蚂蚁对象
    for ant in ants:
        for i in range(1, nCity):  # 遍历该蚂蚁经过的每个城市
            st, ed = ant.path[i-1], ant.path[i]
            # 在两个城市间留下信息素，浓度与总距离成反比
            temp[st, ed] += Q / ant.dTotal
            temp[ed, st] = temp[st, ed]  # 信息素矩阵轴对称
    return pheromone * RHO + temp

至此，万事俱备，只欠东风，蚁群优化算法的主体程序如下

import copy

# xs, ys为城市的x和y坐标
# nAnts为蚂蚁个数, nIter为迭代次数
def aco(xs, ys, nAnts, nIter):
    nCity = len(xs)
    xMat, yMat = xs-xs.reshape(-1,1), ys-ys.reshape(-1,1)
    graph = np.sqrt(xMat**2 + yMat**2)
    pheromone = np.ones([nCity, nCity]) # 信息素矩阵
    
    ants = [Ant(nCity, graph, pheromone) for _ in range(nAnts)]
    best = Ant(nCity, graph, pheromone)  # 初始化最优解
    best.dTotal = np.inf
    bestAnts = []           # 输出并保存

    for i in range(nIter):
        for ant in ants:
            ant.pheromone = pheromone
            ant.run()
            # 与当前最优蚂蚁比较步行的总距离
            if ant.dTotal < best.dTotal:
                # 更新最优解
                best = copy.deepcopy(ant)
        print(f"{i},{best.dTotal}")
        # 更新信息素
        pheromone = updatePheromone(nCity, pheromone, ants)
        bestAnts.append(best)
    return bestAnts

验证与可视化

又到了激动人心的验证时刻。根据aco函数的输入参数来看，主要需要一组空间坐标，设置如下

# 每个城市的x和y坐标
xs = np.array([
    178,272,176,171,650,499,267,703,408,437,491,74,532,
    416,626,42,271,359,163,508,229,576,147,560,35,714,
    757,517,64,314,675,690,391,628,87,240,705,699,258,
    428,614,36,360,482,666,597,209,201,492,294])

ys = np.array([
    170,395,198,151,242,556,57,401,305,421,267,105,525,
    381,244,330,395,169,141,380,153,442,528,329,232,48,
    498,265,343,120,165,50,433,63,491,275,348,222,288,
    490,213,524,244,114,104,552,70,425,227,331])

xMat, yMat = xs-xs.reshape(-1,1), ys-ys.reshape(-1,1)
distance_graph = np.sqrt(xMat**2 + yMat**2)

最后main函数为

if __name__ == '__main__':
    bAnts = aco(xs, ys, 50, 300)
    index = bAnts[-1].path
    index = index + [index[0]]
    plt.plot(xs[index], ys[index], marker='*')
    plt.tight_layout()
    plt.show()