🍉中国剩余定理

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🌽中国剩余定理，又称孙子定理或中国余数定理，是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。

🍒形式描述：

在这里插入图片描述
一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数(x)。
$\equiv就是全等于的意思\,xmo\,m1==a1 \,mod\,m1$
所求整数x和余数a就是同余的他们的余数都为a;

🍐 解法

一阶线性同余方程组

：
$\begin{cases}a\,mod\,d=e \\a\,mod\, b=c \\a\,mod\,f=g \end{cases}$
类似这样求a的问题：一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数

🍓求解方法：

⭐️1.O(1)“大衍求一术”

mi除数，M除数相乘除了自己

$1）Mi=M/mi,\forall\,i\in\lbrace1,2,3,4,5...,n\rbrace是除了mi以外n-1个数的乘积$

$2）计算出相应的数论倒数：ti=Mi\,mod\,mi(逆元）$

$3 ） M i 与对应的 t i 相乘$

$4 ）得到的结果与对应的余数相乘，结果相加为 a$

$5）解的形式：x=a+k*M,k\in\,Z$

⭐️ 2.枚举O(n)

枚举结果得出答案（笨办法）：
比如一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二
就可以写成xmod2=3,xmod5=3,xmod7=2;
我们不知道的是x到底是2，5，7的几倍，因为都有余数。
所以设x是2，5，7的a，b，c倍
枚举a，b，c取得交集即为x

⭐️3.逐级满足法

先求出符合第一个式子得解，再向第二个式子和并一直到最后一个式子。

⭐️4.化为相同除数法

$\begin{cases}x\,mod\,2=7 \\x\,mod\, 5=9 \\x\,mod\,1=5 \end{cases}$

这三个同余式，除数不同，分别为7、9、5，为了能利用同余式的和差特性，简化计算，先设法使它们的除数相同，为此：

X≡2 (mod 7 )两边都乘9x5，得Xx45≡2x45 (mod 7x45 ) →45 X≡90 (mod 315 ) …(1)

X≡5 (mod 9 ) 两边都乘7x5，得Xx35≡5x35 (mod 9x35 ) →35 X≡175 (mod 315 ) …(2)

X≡1 (mod 5 ) 两边都乘7x9，得Xx63≡1x63 (mod 9x63 ) →63 X≡ 63 (mod 315 ) …(3)

(1)＋(2)＋(3)＝ (4) → 143 X≡328 (mod 315 ) …4)

根据同余式的加减性质，(1)＋(2)＋(3)得：

143 X≡328 (mod 315 ) 即 143 X≡13 (mod 315 )，化为带余除式为：

143 X÷315=K …13 亦即 143X－13=315 K ，有(143X－13)÷315＝K(整数)

(143X－13)÷315＝K(整数)用通式表示为 (AX－B)÷S＝K

解得 X=86、K=38 (实际上不用它，在此仅确认它是整数就行了)，

通解为 X＝86+315 N ( N＝ 1、2、3 … )

或 X≡86 (mod 315 )

🎯参考例题

自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始捉摸让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲满不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。举个例子，假如有
16 头母猪，如果建了 3个猪圈，剩下 1头猪就没有地方安家了。如果建造了 5 个猪圈，但是仍然有 1 头猪没有地方去，然后如果建造了 7 个猪圈，还有 2 头没有地方去。你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？

格式输入

第一行包含一个整数 n —— 建立猪圈的次数，接下来 n 行，每行两个整数 ai
,bi ，表示建立了 ai个猪圈，有 bi头猪没有去处。你可以假定 a1∼a n互质。

格式输出
输出包含一个正整数，即为曹冲至少养母猪的数目。

样例输入
3
3 1
5 1
7 2

样例输出
16

评测用例规模与约定
1≤n≤10，0≤bi <ai ≤100000,1≤∏a i≤10^18

解析

就是中国剩余定理和拓展gcd的一个联合运用，洛谷有更详细的解释。

参考程序

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){x=1,y=0;return;}
    else{
        exgcd(b,a%b,x,y);
        int t=x-a/b*y;
        x=y,y=t;
    }
}
int crt(vector<int>a,vector<int> m,int n)
{
    int M=1,r=0;
    for(int i=0;i<n;i++)M*=m[i];
    for(int i=0,Mi,x,y;i<n;i++)
    {
        Mi=M/m[i];
        exgcd(Mi,m[i],x,y);
        r=(r+a[i]*Mi*x)%M;
    }
    if(r<0)r+=M;
    return r;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    ll n;cin>>n;
    vector<int>c,d;
    for(int i=0;i<n;i++){
       ll a,b;cin>>a>>b;c.push_back(a);
       d.push_back(b);
    }
  int rr=crt(d,c,n);
  cout<<rr;
}