强化学习 SAC算法对数概率推导

先上原论文：

SAC

首先对公式 $(20)$ 做推导。

公式 $(20)$ 的数据流应该是这样的：
$\mathbf{s}\rightarrow \pi(\mathbf{u}|\mathbf{s}) \rightarrow \mathbf{u}\rightarrow \mathbf{a}=\tanh(\mathbf{u})\rightarrow \mathbf{a}$
求 $\mathbf{a}$ 的概率密度，我们先可以这样写出 $\mathbf{a}$ 的分布函数表达式：
$\begin{align*} Pr_{A}(a) &= Pr(A\le a) \\ &\ (A表示随机变量,a表示A的某个观察值,也就是实际产生的“action”) \\ &= Pr(\tanh(U)\le a) \\ &\ (带入\tanh 函数,将随机变量A用U的函数来表示) \\ &= Pr(U\le\tanh^{-1}(a)) \\ &\ (求解Pr里面的不等式,\tanh 的反函数用\tanh^{-1}表示) \\ &= F_{U}(\tanh^{-1}(a)) \\ &\ (根据分布函数的定义,化简这个表达式) \\ \end{align*}\tag{1}$
求 $\mathbf{a}$ 的概率密度，我们可以由 $\mathbf{a}$ 的分布函数求导得到：
$\begin{align*} p(A) &= \frac{\mathbf{d}Pr_{A}(\mathbf{a})}{\mathbf{d}\mathbf{a}} \\ &= \frac{\mathbf{d}F_{U}(\tanh^{-1}(\mathbf{a}))}{\mathbf{d}\mathbf{a}} \\ &\ (代入(1)中的表达式) \\ &= \frac{\mathbf{d}F_{U}(\tanh^{-1}(\mathbf{a}))}{\mathbf{d}\tanh^{-1}(\mathbf{a})}\cdot\frac{\mathbf{d}\tanh^{-1}(\mathbf{a})}{\mathbf{d}\mathbf{a}} \\ &\ (对表达式做链式求导) \\ &= \frac{\mathbf{d}F_{U}(\mathbf{u})}{\mathbf{d}\mathbf{u}}\cdot\frac{\mathbf{d}\mathbf{u}}{\mathbf{d}\mathbf{a}} \\ &\ (这是因为\mathbf{a}=\tanh(\mathbf{u}),则\mathbf{u}=\tanh^{-1}(\mathbf{a})) \\ &= p(U)\cdot\big(\det\frac{\mathbf{d}\mathbf{a}}{\mathbf{d}\mathbf{u}}\big)^{-1} \\ &\ (左边一部分根据概率密度函数的定义,右边一部分根据：) \\ &\ (“反函数的导数等于原函数导数的倒数”) \\ &\ (另外,向量对向量求导得到的结果是矩阵形式,因为\mathbf{a}=\tanh(\mathbf{u})) \\ &\ (是逐个对应元素做计算,那么得到的矩阵就是一个对角阵) \\ &\ (最后的结果是：原函数的导数的对角阵的逆) \\ &= \mu(\mathbf{u}|\mathbf{s})\cdot \big|\det\frac{\mathbf{d}\mathbf{a}}{\mathbf{d}\mathbf{u}}\big|^{-1} \\ \end{align*}\tag{2}$
我们得到了论文的公式 $(20)$ ，但是后面导数的对角阵的逆还需要进一步处理。
$\begin{align*} y&=\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\tag{3} \\ y^{\prime}&=\frac{\cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)}{\cosh^{2}(x)} \\ &= 1-\tanh^{2}(x)\tag{4} \\ &其中，[\cosh(x)]^{\prime}=\sinh(x)，[\sinh(x)]^{\prime}=\cosh(x) \end{align*}$
得到了这样一个等式之后，我们可以把这个等式用到向量之间：
$\begin{align*} &\ \ \ \ \big|\det\frac{\mathbf{d}\mathbf{a}}{\mathbf{d}\mathbf{u}}\big|^{-1} \\ &= \begin{vmatrix} \frac{\mathbf{d}a_{1}}{\mathbf{d}u_{1}} & & \\ & \ddots & \\ & & \frac{\mathbf{d}a_{n}}{\mathbf{d}u_{n}} \end{vmatrix}^{-1} \\ &= \begin{vmatrix} 1-\tanh^{2}(u_{1}) & & \\ & \ddots & \\ & & 1-\tanh^{2}(u_{n}) \end{vmatrix}^{-1} \\ &=\frac{1}{( 1-\tanh^{2}(u_{1}))\cdots(1-\tanh^{2}(u_{n}))} \end{align*}\tag{5}$
最后计算对数概率密度：
$\begin{align*} \log\pi(\mathbf{a}|\mathbf{s}) &= \log\mu(\mathbf{u}|\mathbf{s})+\log\frac{1}{( 1-\tanh^{2}(u_{1}))\cdots(1-\tanh^{2}(u_{n}))} \\ &\ (把公式(5)带进来并根据对数等式拆分) \\ &= \log\mu(\mathbf{u}|\mathbf{s}) - \log( 1-\tanh^{2}(u_{1}))-\cdots\log( 1-\tanh^{2}(u_{n})) \\ &\ (根据对数等式拆分) \\ &= \log\mu(\mathbf{u}|\mathbf{s}) -\sum\limits_{i=1}^{n}\log(1-\tanh^{2}(u_{i})) \\ &\ (化简一下) \\ \end{align*}\tag{6}$
最后我想说的是：

这就是为什么在SAC的策略更新代码中，计算重采样之后的概率密度，还要再加上一串很奇怪的项。

这一串很奇怪的项就是公式 $(6)$ 的第二项。
一般是重采样之后通过 $\tanh()$ 计算实际作用于环境的动作，然后对这个动作按元素做平方计算，最后用数字1减去这个平方计算值（内含广播机制），然后与前面的重采样直接计算的概率密度相减！
为什么会有 $\epsilon$ 小量？我认为这是因为公式 $(5)$ 的除法导致的。小量一般是10的-7次方，其实是忽略不计的。