题目链接: AcWing 1273. 天才的记忆
问题描述
RMQ是用来求解静态区间最大/小值的算法，静态空间就是数组里的数不会变，动态空间最大/小值可以用线段树或者树状数组来求解。
RMQ算法有点类似与区间DP，RMQ算法的时间复杂度为
O
(
n
l
o
g
n
)
O(nlogn)
O(nlogn)，预处理的时间为
O
(
n
l
o
g
n
)
O(nlogn)
O(nlogn)，查询的时间为
O
(
1
)
O(1)
O(1)，下面讲解一下这个算法步骤，做过区间DP问题应该很容易明白。
用数组f[i][j]来表示以i为开头，长度为
2
j
2^j
2j区间内的最大值，举个例子:
序列A: 1 2 3 4 5 (下标从1开始)
f[1][0]=A[1]=1, 0表示2^0
f[1][1]=max(A[1],A[2])=1, 1表示2^1
f[1][2]=max(A[1],A[2],A[3],A[4])=4, 2表示2^2
那么状态表示就清楚了，状态怎么转移的呢？
f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i-(1<<j)][j-1]
也就是2^j长的区间刚好可以分成两个长度为2^{j-1}的小区间，长区间的最大值就等于两个小区间中最大值的最大值
这里的思路和区间DP很像
那么如果给定一个区间[l,r]，我们如何根据上面得到的数组f来求这个区间的最大值呢，因为这个区间长度也不一定是
2
k
2^k
2k呀？
这里的区间长度len=r-l+1
我们可以将这个区间分成两小，第一个小区间是从l开始，长度为
2
k
2^k
2k,第二个区间是从r结束，长度为
2
k
2^k
2k，
k
=
l
o
g
2
(
l
e
n
)
下取整
k=log_2(len)下取整
k=log2(len)下取整
举个例子，比如区间[1,5]长度为5，那么k=2小区间的长度为4，第一个小区间是为[1,4],第二个小区间为[3,5]，这两个小区间刚好完全覆盖大区间[1,5]，所以在这两个小区间中取一个max，就得到了大区间的max，这样就能在
O
(
n
l
o
g
n
)
O(nlogn)
O(nlogn)的预处理下，用
O
(
1
)
O(1)
O(1)的时间复杂度查询。
代码如下:
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=2e5+10,M=20;
int h[N];
int f[N][M];//f[i][j]表示考虑以i为开头，长度为2^j的区间最大值
int n,m;
void st(){
for(int i=0;i<M;i++)
for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)
if(!i) f[j][i]=h[j];
else f[j][i]=max(f[j][i-1],f[j+(1<<i-1)][i-1]);
}
int query(int l,int r){
int len=r-l+1;
int k=log(len)/log(2);
return max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&h[i]);
st();
cin>>m;
while(m--){
int l,r;
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n",query(l,r));
}
return 0;
}
