斐波那契数列

描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个正整数 n ，请你输出斐波那契数列的第 n 项。

斐波那契数列是一个满足
$$fib(x)=\{\begin{array}{l}1，x=1,2\\ fib(x-1)+fib(x-2)，x>2\end{array}$$
的数列

数据范围：$1\le n\le 40$

要求：空间复杂度 $O(1)$，时间复杂度 $O(n)$ ，本题也有时间复杂度$O(logn) $的解法

输入描述：

一个正整数n

返回值描述：

输出一个正整数。

示例1

输入：

4

返回值：

3

说明：

根据斐波那契数列的定义可知，fib(1)=1,fib(2)=1,fib(3)=fib(3-1)+fib(3-2)=2,fib(4)=fib(4-1)+fib(4-2)=3，所以答案为3。

示例2

输入：

1

返回值：

1

示例3

输入：

2

返回值：

1

思路

求斐波那契数列是一个很经典的题目了，在上《算法设计与分析》这门课就有这个问题，当时老师教了递归和非递归两种解法

非递归

很明显，题目给出了斐波那契数列的递推方程，即当x>2时，$fib(x)=fix(x-1)+f(x-2)$，用java写出来就是

public int Fibonacci (int n) {
    // write code here
    if (n <= 2) {
        return 1;
    }
    int[] fib = new int[n + 1];
    fib[1] = 1;
    fib[2] = 1;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
    }
    return fib[n];
}

如果输入小于2则直接输出1，如果大于2则根据递推方程来求解斐波那契数列每个位置的值为多少，最后返回最后一个值即可

递归

其实递归和非递归的思路很像，首先要清楚对于使用递归来求解的问题，要实现一个递归函数首先要找到它的边界条件和递归方程

• 递归方程:由其规律可以很容易得到递归方程为 F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中n>1
• **边界条件：**由于递归方程的范围为n>2,而n的取值为大于等于0的正整数，故边界条件为当n=1和当n=2时，由最开始的定义可得此时结果都为1

递归树如下

代码如下：

if (n <= 2) {
    return 1;
}
else{
    return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

完整代码

import java.util.*;


public class Solution {
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可
     *
     *
     * @param n int整型
     * @return int整型
     */


    public int Fibonacci (int n) {
        // write code here
        
        //递归
        // if (n <= 2) {
        //     return 1;
        // } else {
        //     return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
        // }

        //非递归
        if (n <= 2) {
            return 1;
        }
        int[] fib = new int[n + 1];
        fib[1] = 1;
        fib[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
        }
        return fib[n];
    }
}