线性回归线性关系、非线性关系、常见函数导数、损失函数与优化算法、正规方程与单变量函数梯度下降、多变量函数梯度下降

news2024/11/17 23:57:07

一、线性回归概述

线性回归(Linear regression)：是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式

特点：只有一个自变量的情况称为单变量回归，多于一个自变量情况的叫做多元回归

特征值与目标值之间建立了一个关系，这个关系可以理解为线性模型

二、线性回归的特征与目标的关系分析

线性回归当中主要有两种模型，一种是线性关系，另一种是非线性关系。在这里我们只能画一个平面更好去理解，所以都用单个特征或两个特征举例子

线性关系

单变量线性关系与多变量线性关系如下图

单特征与目标值的关系呈直线关系，或者两个特征与目标值呈现平面的关系

非线性关系回归方程可以理解为： $y = w_{1}x_{1} + w_{2}x_{2}^{2} + w_{3}x_{3}^{2}$ ，如下

三、线性回归API

sklearn.linear_model.LinearRegression()
- LinearRegression.coef_：回归系数

简单使用代码如下

from sklearn.linear_model import LinearRegression

x = [[80, 86], [82, 80], [85, 78], [90, 90], [86, 82], [82, 90], [78, 80], [92, 94]]   # [平时成绩，考试成绩]
y = [84.2, 80.6, 80.1, 90, 83.2, 87.6, 79.4, 93.4]   # 总成绩
estimator = LinearRegression()   # 实例化API
estimator.fit(x, y)   # 使用fit方法进行训练
print('系数是:', estimator.coef_)   # 平时成绩与考试成绩系数，即所占比例
print('预测值是:', estimator.predict([[90, 85]]))   # 预测总成绩
------------------------------------------------------------------
输出：
系数是: [0.3 0.7]
预测值是: [86.5]

四、常见函数导数

导数的四则运算

五、损失函数与优化算法

5.1 损失函数

总损失定义为

即为各个预测值与真实值之差的平方和，其中

$y_{i}$ 为第i个训练样本的真实值
$h(x_{i})$ 为第i个训练样本特征值组合预测函数，即预测值
损失函数又称最小二乘法

5.2 优化算法（优化减少总损失）

优化的目的：找到最小损失对应的W值

线性回归常用两种优化算法

1.正规方程

利用矩阵的逆、转置求解，X为特征值矩阵，y为目标值矩阵，将X、y带入后可直接求到最好的结果

缺点：只适合样本和特征较少的情况，当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果

正规方程的推导过程

把该损失函数转换成矩阵写法

$\begin{aligned} J(\theta) & =\left(h_{w}\left(x_{1}\right)-y_{1}\right)^{2}+\left(h_{w}\left(x_{2}\right)-y_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(h_{w}\left(x_{m}\right)-y_{m}\right)^{2} \\ & =\sum_{i=1}^{m}\left(h_{w}\left(x_{i}\right)-y_{i}\right)^{2} \\ & =(y-X w)^{2} \end{aligned}$

其中y是真实值矩阵，X是特征值矩阵，w是权重矩阵

对其求解关于w的最小值，起止y,X 均已知二次函数直接求导，导数为零的位置，即为最小值

求导推导如下

$\begin{aligned} 2(\mathrm{Xw}-\mathrm{y}) * \mathrm{X} & =0 \\ 2(\mathrm{Xw}-\mathrm{y}) *\left(X \mathrm{X}^{\mathrm{T}}\right) & =0 \mathrm{X}^{T} \\ 2(\mathrm{Xw}-\mathrm{y}) *\left(X \mathrm{X}^{\mathrm{T}}\right)\left(X \mathrm{X}^{\mathrm{T}}\right)^{-1} & =0 \mathrm{X}^{T}\left(\mathrm{XX}^{\mathrm{T}}\right)^{-1} \\ 2(\mathrm{Xw}-\mathrm{y}) & =0 \\ \mathrm{Xw} & =\mathrm{y} \\ \mathrm{X}^{T} X w & =X^{T} y \\ \left(\mathrm{X}^{T} X\right)^{-1}\left(\mathrm{X}^{T} X\right) * w & =\left(\mathrm{X}^{T} X\right)^{-1} * X^{T} y \\ w & =\left(\mathrm{X}^{T} X\right)^{-1} * X^{T} y \end{aligned}$

以上推导过程中, X是一个m行n列的矩阵，并不能保证其有逆矩阵，通过右乘或左乘 $X^{T}$ 可将其变成一个方阵，保证其有逆矩阵

2.梯度下降

以下山为例，以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着山的高度下降的地方走，每走一段距离，都反复采用同一个方法，最后就能成功的抵达山谷

梯度下降：一个可微分的函数代表一座山，函数的最小值就是山底，最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向，然后沿着此方向向下走，对应到函数中，就是找到给定点的梯度 ，然后朝着梯度相反的方向，就能让函数值下降的最快，因为梯度的方向就是函数之变化最快的方向，重复利用这个方法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最小值

单变量的函数中：梯度其实就是函数的微分，代表着函数在某个给定点的切线的斜率
多变量函数中：梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向
梯度的方向是函数在给定点上升最快的方向，那么梯度的反方向就是函数在给定点下降最快的方向

单变量函数梯度下降

假设有一个单变量的函数：J(θ) = $\theta^{2}$

函数的微分：J'(θ) = 2θ
初始化，起点为： $\theta ^{0}$ = 1
学习率：α = 0.4

梯度下降的迭代计算过程如下

$\begin{aligned} \theta^{0} & =1 \\ \theta^{1} & =\theta^{0}-\alpha * J^{\prime}\left(\theta^{0}\right) \\ & =1-0.4 * 2 \\ & =0.2 \\ \theta^{2} & =\theta^{1}-\alpha * J^{\prime}\left(\theta^{1}\right) \\ & =0.04 \\ \theta^{3} & =0.008 \\ \theta^{4} & =0.0016 \end{aligned}$

多变量函数的梯度下降

假设有一个目标函数： $\mathrm{J}(\theta)=\theta_{1}^{2}+\theta_{2}^{2}$

现在要通过梯度下降法计算这个函数的最小值，通过观察就能发现最小值其实就是 (0，0)点，现从梯度下降算法开始一步步计算到这个最小值，假设初始的起点为： $\theta ^{0}$ = (1, 3)

初始的学习率为：α = 0.1

函数的梯度为 $\nabla J(\theta)=<2 \theta_{1}, 2 \theta_{2}>$

进行多次迭代

$\begin{aligned} \Theta^{0} & =(1,3) \\ \Theta^{1} & =\Theta^{0}-\alpha \nabla J(\Theta) \\ & =(1,3)-0.1(2,6) \\ & =(0.8,2.4) \\ \Theta^{2} & =(0.8,2.4)-0.1(1.6,4.8) \\ & =(0.64,1.92) \\ \Theta^{3} & =(0.512,1.536) \\ \Theta^{4} & =(0.4096,1.2288000000000001) \\ \vdots & \\ \Theta^{10} & =(0.10737418240000003,0.32212254720000005) \\ \vdots & \\ \Theta^{50} & =\left(1.1417981541647683 \mathrm{e}^{-05}, 3.425394462494306 \mathrm{e}^{-05}\right) \\ \vdots & \\ \Theta^{100} & =\left(1.6296287810675902 \mathrm{e}^{-10}, 4.888886343202771 \mathrm{e}^{-10}\right) \end{aligned}$