差分方程解的稳定性

news2024/12/23 23:43:54

Heine定理

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ 存在的充要条件是:

取 $f(x)$ 定义域内的任意数列 $\begin{Bmatrix} a_n \end{Bmatrix},\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a$ ,有 $\lim_{n\rightarrow \infty}f(a_n)=b$

差分的定义

考虑离散型变量 $x_0,x_1,...,x_k,...$

一阶差分为: $\Delta x_k=x_{k+1}-x_k$

二阶差分为: $\Delta^2 x_k=\Delta(\Delta x_k)=\Delta x_{k+1}-\Delta x_k=x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k$

线性差分方程的解

非齐次差分方程的解

满足初始条件

$x_{k_0}=x(0),x_{k_0+1}=x(1),...,x_{k_0+n-1}=x(n-1)$

的n阶非齐次线性差分方程

$x_{k+n}+a_1(k)x_{k+n-1}+...+a_{n-1}(k)x_{k+1}+a_n(k)x_k=b(k)$

的解是存在且唯一的

非齐次线性差分方程的通解结构:

$x_k=\zeta _0(k)+\sum_{i=1}^nc_i\zeta_i(k),k\ge k_0$

齐次差分方程的解

线性相关与无关

n个定义在 $k\ge k_0$ 上的函数 $x_1(k),x_2(k),...,x_n(k)$ ,如果存在n个不全为零的常数 $C_1,C_2,...,C_n$ ,使得

$\sum_{i=1}^nC_ix_i(k)\equiv 0,\forall k\ge k_0$

则称 $x_1(k),x_2(k),...,x_n(k)$ 在 $k\ge k_0$ 上线性相关

齐次方程

$x_{k+n}+a_1(k)x_{k+n-1}+...+a_{n-1}(k)x_{k+1}+a_n(k)x_k=0$

齐次方程的解满足叠加原理

一阶线性齐次差分方程组

$X(k+1)=A(k)X(k),k\geq k_0$

$X(k+1)=A(k)X(k)+g(k),k\geq k_0$

n阶常系数线性差分方程

$x_{k+n}+a_1x_{k+n-1}+a_2x_{k+n-2}+...+a_nx_k=0$

特征方程: $\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+...+a_n=0$

若 $\lambda_0$ 为特征方程的j重实根, 则与之相应的j个线性无关解为 $\lambda^k,k\lambda^k,...k^{j-1}\lambda^k$

若 $\lambda_0=\alpha\pm i\beta=re^{i\theta}$ 为特征方程的j重复根, 则与之相应的2j个线性无关解为:

$\begin{matrix} r^kcos\,k\theta,kr^kcos\,k\theta,...,k^{j-1}r^kcos\,k\theta\\ r^ksin\,k\theta,kr^ksin\,k\theta,...,k^{j-1}r^ksin\,k\theta \end{matrix}$

n=1

一阶非线性差分方程 $X_{k+1}=f(X_k)$ 的解 $X^*$ 称为方程的平衡点

平衡点的（一致）渐近稳定性

平衡点的指数稳定性

自治系统平衡点稳定性的判定

自治系统:

$X_{k+1}=f(X_k)$

$X_{k+1}=f(X_k)=f'(X^*)(X_k-X^*)+f(X_k)-f'(X^*)(X_k-X^*)$

$f'(X^*)$ 是 $f$ 在 $X^*$ 点的Jacobi Matrix

定理 $X_{k+1}=f'(X^*)(X_k-X^*)+f(X^*),Y_{k+1}=f'(X^*)Y_k$

常系数n阶方程的平衡点及其稳定性

总之

对于一阶常系数线性差分方程
- 平衡点 $x+ax=b$
- 稳定的平衡点的充要条件 $|a|<1$
对于n维向量，
- 平衡点稳定的充要条件是A所有的特征根的绝对值都小于1
对于二阶常系数线性差分方程
- 平衡点稳定的充要条件是特征方程的根的绝对值小于1
一阶非线性差分方程
- 稳定点 $x^*=f(x^*)$
- $|f'(x^*)|<1$ 时，平衡点是稳定的

几个常见的差分方程模型

$x_k=x_{k-1}(1+r)-a,k=1,2,3,...,n$

$x_k=x_0(1+r)^k-a\frac{(1+r)^k-1}{r}$

$x_k=x_{k-1}-r\frac{x_0}{n},k=2,...,n$

$x_k=\frac{x_0}{n}+x_0(1-\frac{k-1}{n})r$

$\left\{\begin{matrix} y_k=f(x_k)\\ x_{k+1}=h(y_k) \\y_k-y_0=-\alpha(x_k-x_0),\alpha=-f'(x_0)>0\\ x_{k+1}-x_0=\beta(y_k-y_0),\beta=h'(y_0)>0 \end{matrix}\right.$

$\alpha \beta <1,x_k\rightarrow x_0$

Python 解差分方程

import sympy as sp
sp.var("k")
sp.var("x",cls=sp.Function)

f = x(k+1)-x(k)-3-2*k
f = sp.rsolve(f,x(k))
f = sp.simplify(f)
print(f)

本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：http://www.coloradmin.cn/o/71839.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系多彩编程网进行投诉反馈，一经查实，立即删除！

差分方程解的稳定性

Heine定理

差分的定义

线性差分方程的解

非齐次差分方程的解

齐次差分方程的解

一阶线性齐次差分方程组

n阶常系数线性差分方程

n=1

平衡点的（一致）渐近稳定性

平衡点的指数稳定性

自治系统平衡点稳定性的判定

常系数n阶方程的平衡点及其稳定性

总之

几个常见的差分方程模型

Python 解差分方程

相关文章

提升规则自治能力与原生分析能力、支持视频流接入处理

[附源码]Python计算机毕业设计Django智能家电商城

苹果iOS 16.2/iPadOS 16.2 RC版发布：隔空投送10分钟限制全球上线

从事功能测试1年，裸辞1个月，找不到工作的“我”怎么办？

守护网络安全的第一道门—防火墙

引擎入门 | Unity UI简介–第2部分（6）

eclipse+tomcat+spring mvc开发笔记

v1.9.1 进行中：MQTT X CLI 支持自动重连及保存和读取本地文件

电脑上如何禁止一切弹窗广告?永久关闭桌面弹出广告

人机界面石油行业的应用：如何构建自动化石化罐区储运监控系统？

antd-vue 累加表单编辑和删除

信息安全简介

数字逻辑·时序线路设计【状态化简与编码】

图书馆座位预约小程序毕业设计,图书馆座位预约系统设计与实现,微信小程序毕业设计论文怎么写毕设源码开题报告需求分析怎么做

通过分割受损的叶子自动检测昆虫捕食（matlab代码实现）

程序员留的后门，怎么能管它叫热部署呢？

[附源码]Python计算机毕业设计Django在线教育系统

offsetWidth、offsetHeight、clientHeight、clientWidth、scrollHeight、scrollWidth详细对比

Java数据结构与Java算法学习Day11---有向图、拓扑排序、加权无向图、最小生成图、加权有向图、最短路径（简略笔记记录）

【Day2】零基础学java--》牛客网刷题【字符集合】