差分方程解的稳定性

news2024/10/5 21:13:37

Heine定理

\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b存在的充要条件是:

取f(x)定义域内的任意数列\begin{Bmatrix} a_n \end{Bmatrix},\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a,有\lim_{n\rightarrow \infty}f(a_n)=b

差分的定义

考虑离散型变量x_0,x_1,...,x_k,...

一阶差分为:\Delta x_k=x_{k+1}-x_k

二阶差分为:\Delta^2 x_k=\Delta(\Delta x_k)=\Delta x_{k+1}-\Delta x_k=x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k

线性差分方程的解

非齐次差分方程的解

  • 满足初始条件

x_{k_0}=x(0),x_{k_0+1}=x(1),...,x_{k_0+n-1}=x(n-1)

的n阶非齐次线性差分方程

x_{k+n}+a_1(k)x_{k+n-1}+...+a_{n-1}(k)x_{k+1}+a_n(k)x_k=b(k)

的解是存在且唯一的

  • 非齐次线性差分方程的通解结构:

x_k=\zeta _0(k)+\sum_{i=1}^nc_i\zeta_i(k),k\ge k_0

齐次差分方程的解

  • 线性相关与无关

                n个定义在k\ge k_0上的函数x_1(k),x_2(k),...,x_n(k),如果存在n个不全为零的常数C_1,C_2,...,C_n,使得

\sum_{i=1}^nC_ix_i(k)\equiv 0,\forall k\ge k_0

                则称x_1(k),x_2(k),...,x_n(k)在k\ge k_0上线性相关

  • 齐次方程

x_{k+n}+a_1(k)x_{k+n-1}+...+a_{n-1}(k)x_{k+1}+a_n(k)x_k=0

  • 齐次方程的解满足叠加原理

一阶线性齐次差分方程组

X(k+1)=A(k)X(k),k\geq k_0

X(k+1)=A(k)X(k)+g(k),k\geq k_0

n阶常系数线性差分方程

x_{k+n}+a_1x_{k+n-1}+a_2x_{k+n-2}+...+a_nx_k=0

特征方程:\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+...+a_n=0

若\lambda_0为特征方程的j重实根, 则与之相应的j个线性无关解为\lambda^k,k\lambda^k,...k^{j-1}\lambda^k

若\lambda_0=\alpha\pm i\beta=re^{i\theta}为特征方程的j重复根, 则与之相应的2j个线性无关解为:

\begin{matrix} r^kcos\,k\theta,kr^kcos\,k\theta,...,k^{j-1}r^kcos\,k\theta\\ r^ksin\,k\theta,kr^ksin\,k\theta,...,k^{j-1}r^ksin\,k\theta \end{matrix}

n=1

一阶非线性差分方程X_{k+1}=f(X_k)的解X^*称为方程的平衡点

平衡点的（一致）渐近稳定性

平衡点的指数稳定性

自治系统平衡点稳定性的判定

自治系统:

X_{k+1}=f(X_k)

 X_{k+1}=f(X_k)=f'(X^*)(X_k-X^*)+f(X_k)-f'(X^*)(X_k-X^*)

f'(X^*)是f在X^*点的Jacobi Matrix

  • 定理  X_{k+1}=f'(X^*)(X_k-X^*)+f(X^*),Y_{k+1}=f'(X^*)Y_k

 

常系数n阶方程的平衡点及其稳定性

总之

  • 对于一阶常系数线性差分方程x_{k+1}+ax_k=b
    • 平衡点x+ax=b
    • 稳定的平衡点的充要条件|a|<1
  • 对于n维向量x(k)，x(k+1)+Ax(k)=0
    • 平衡点稳定的充要条件是A所有的特征根的绝对值都小于1
  • 对于二阶常系数线性差分方程x_{k+2}+a_1x_{k+1}+a_2x_k=0
    • 平衡点稳定的充要条件是特征方程的根的绝对值小于1
  • 一阶非线性差分方程x_{k+1}=f(x_k)
    • 稳定点x^*=f(x^*)
    • |f'(x^*)|<1时，平衡点是稳定的

几个常见的差分方程模型

  • x_k=x_{k-1}(1+r)-a,k=1,2,3,...,n

x_k=x_0(1+r)^k-a\frac{(1+r)^k-1}{r}

  • x_k=x_{k-1}-r\frac{x_0}{n},k=2,...,n

x_k=\frac{x_0}{n}+x_0(1-\frac{k-1}{n})r

  • \left\{\begin{matrix} y_k=f(x_k)\\ x_{k+1}=h(y_k) \\y_k-y_0=-\alpha(x_k-x_0),\alpha=-f'(x_0)>0\\ x_{k+1}-x_0=\beta(y_k-y_0),\beta=h'(y_0)>0 \end{matrix}\right.

\alpha \beta <1,x_k\rightarrow x_0

Python 解差分方程

import sympy as sp
sp.var("k")
sp.var("x",cls=sp.Function)

f = x(k+1)-x(k)-3-2*k
f = sp.rsolve(f,x(k))
f = sp.simplify(f)
print(f)

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