费马原理：光传播的路径是光程取极值的路径
光的反射
如上图所示，光从P点出发射向x点，反射到Q点。
P 点到 x 点的距离
d
1
=
x
2
+
a
2
d1 = \sqrt{x^2 + a^2}
d1=x2+a2
Q 点到 x 点的距离
d
2
=
b
2
+
(
l
−
x
)
2
d2 = \sqrt{b^2 + (l-x)^2}
d2=b2+(l−x)2
点 P 到点 Q 的光程 D = d 1 + d 2 D = d1 + d2 D=d1+d2
根据费马原理，光线在真空中传播的路径是光程为极值的路径。
取光程 D 对 x 的导数，令其为零：
d D d x = x x 2 + a 2 + − l + x b 2 + ( l − x ) 2 = 0 \frac{dD}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{-l + x}{\sqrt{b^2 + (l-x)^2}} = 0 dxdD=x2+a2x+b2+(l−x)2−l+x=0
根据三角函数关系：
sin θ 1 = x x 2 + a 2 sin θ 2 = l − x b 2 + ( l − x ) 2 \sin{\theta_1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \quad \sin{\theta_2} = \frac{l - x}{\sqrt{b^2 + (l-x)^2}} sinθ1=x2+a2xsinθ2=b2+(l−x)2l−x
代入上面的求导，可以得到： sin θ 1 = sin θ 2 θ 1 = θ 2 \sin{\theta_1} = \sin{\theta_2} \quad \theta_1 = \theta_2 sinθ1=sinθ2θ1=θ2
光的折射
如上图所示，假设介质 1 和介质 2 的折射率分别为 n 1 , n 2 n_1, n_2 n1,n2，那么光在介质 1 和介质 2 中的速度分别为 v 1 , v 2 v_1, v_2 v1,v2，
v 1 = c / n 1 v 2 = c / n 2 v_1 = c/n_1 \quad v_2 = c / n_2 v1=c/n1v2=c/n2
从点 Q 到点 P 的传播时间 T为：
T = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + ( l − x ) 2 v 2 T = \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (l-x)^2}}{v_2} T=v1x2+a2+v2b2+(l−x)2
根据费马原理，光线传播的路径是所需时间为极值的路径，取传播时间 T 对 x 的导数，设定其为零
d T d x = x v 1 x 2 + a 2 + − l + x v 2 b 2 + ( l − x ) 2 = 0 \frac{dT}{dx} = \frac{x}{v_1 \sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{-l + x}{v_2 \sqrt{b^2 + (l-x)^2}} = 0 dxdT=v1x2+a2x+v2b2+(l−x)2−l+x=0
根据三角函数关系：
sin θ 1 = x x 2 + a 2 sin θ 2 = l − x b 2 + ( l − x ) 2 \sin{\theta_1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \quad \sin{\theta_2} = \frac{l - x}{\sqrt{b^2 + (l-x)^2}} sinθ1=x2+a2xsinθ2=b2+(l−x)2l−x
d T d x = sin θ 1 v 1 − sin θ 2 v 2 = 0 \frac{dT}{dx} = \frac{\sin{\theta_1}}{v_1} - \frac{\sin{\theta_2}}{v_2} = 0 dxdT=v1sinθ1−v2sinθ2=0
将速度公式代入可以得到：
n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 n_1 \sin{\theta_1} = n_2 \sin{\theta_2} n1sinθ1=n2sinθ2
这个就是光的折射定律。
参考：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%BB%E9%A6%AC%E5%8E%9F%E7%90%86
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