线性代数行列式的几何含义

news2024/12/26 11:07:57

行列式可以看做是一系列列向量的排列，并且每个列向量的分量可以理解为其对应标准正交基下的坐标。

行列式有非常直观的几何意义，例如：

二维行列式按列向量排列依次是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ ，可以表示 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 构成的平行四边形的面积

$\begin{aligned} |\mathbf{a b}| & =\left|\left(x_{a} \mathbf{x}+y_{a} \mathbf{y}\right)\left(x_{b} \mathbf{x}+y_{b} \mathbf{y}\right)\right| \\ & =x_{a} x_{b}|\mathbf{x} \mathbf{x}|+x_{a} y_{b}|\mathbf{x y}|+y_{a} x_{b}|\mathbf{y} \mathbf{x}|+y_{a} y_{b}|\mathbf{y} \mathbf{y}| \\ & =x_{a} x_{b}(0)+x_{a} y_{b}(+1)+y_{a} x_{b}(-1)+y_{a} y_{b}(0) \\ & =x_{a} y_{b}-y_{a} x_{b} . \end{aligned}$

在这里插入图片描述

三维行列式按列向量排列依次是 $\mathbf{a}$ ， $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ ，可以表示 $\mathbf{a}$ ， $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{b}$ 构成的平行六面体的体积

$\begin{aligned} |\mathbf{a b c}| & =\left|\left(x_{a} \mathbf{x}+y_{a} \mathbf{y}+z_{a} \mathbf{z}\right)\left(x_{b} \mathbf{x}+y_{b} \mathbf{y}+z_{b} \mathbf{z}\right)\left(x_{c} \mathbf{x}+y_{c} \mathbf{y}+z_{c} \mathbf{z}\right)\right| \\ & =x_{a} y_{b} z_{c}-x_{a} z_{b} y_{c}-y_{a} x_{b} z_{c}+y_{a} z_{b} x_{c}+z_{a} x_{b} y_{c}-z_{a} y_{b} x_{c} . \end{aligned}$