leetcode123. 买卖股票的最佳时机 III

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii

题目描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天（股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0

提示：
1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 105

动态规划

动态规划主要是找到变化的状态，根据题目描述，我们可以看到，天数，和交易次数，都是变化的状态，还有就是持有股票的状态，持有的状态只有两个，持有和没持有，我们用0代表没持有，1代表持有。然后我们用一个三维数组来组织这个dp表。

dp[i][k][0 or 1]
0 <= i <= n - 1, 1 <= k <= K
n 为天数，大 K 为交易数的上限，0 和 1 代表是否持有股票。
此问题共 n × K × 2 种状态，全部穷举就能搞定。

持有股票的状态是相互转换的。

根据这个转换关系，我们可以写出下面的状态转移方程：

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
解释：今天我没有持有股票，有两种可能，我从这两种可能中求最大利润：
1、我昨天就没有持有，且截至昨天最大交易次数限制为 k；然后我今天选择 rest，所以我今天还是没有持有，最大交易次数限制依然为 k。
2、我昨天持有股票，且截至昨天最大交易次数限制为 k；但是今天我 sell 了，所以我今天没有持有股票了，最大交易次数限制依然为 k。

2.dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
解释：今天我持有着股票，最大交易次数限制为 k，那么对于昨天来说，有两种可能，我从这两种可能中求最大利润：
1、我昨天就持有着股票，且截至昨天最大交易次数限制为 k；然后今天选择 rest，所以我今天还持有着股票，最大交易次数限制依然为 k。
2、我昨天本没有持有，且截至昨天最大交易次数限制为 k - 1；但今天我选择 buy，所以今天我就持有股票了，最大交易次数限制为 k。

根据上面总结，我们得出状态转移方程：
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])

代码演示

class Solution {
    public int maxProfit1(int[] prices) {
        int N = prices.length;
        //交易两次
        int K = 2;
        int[][][]dp = new int[N][K + 1][2];
        for(int i = 0; i < N;i++){
            for(int j = K;j >= 1;j--){
            		//防止越界，第一天的状态单独讨论。
                if(i == 0){
                	//没持有，就是0
                    dp[i][j][0] = 0;
                    //持有的话，就是买股票消耗的资金
                    dp[i][j][1] = -prices[i];
                    continue;
                }
                //状态转移方程
                dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0],dp[i- 1][j][1] +prices[i]);
                dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1],dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]);
            }
        }
        return dp[N - 1][K][0];
    }

  
}