hello算法笔记之图

news2024/12/28 17:38:57

一、图的基础知识

图是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。

1.图的类型：

根据边是否具有方向可以分为有向图，无向图

根据所有顶点是否连通可以分为连通图（对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点），非连通图

2.图常用术语：

「邻接 Adjacency」：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。在
「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。
「度 Degree」表示一个顶点拥有的边数。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。

3.图的表示：

图的常用表示方法包括「邻接矩阵」和「邻接表」。

对于邻接矩阵：A[i][j]表示i到j的边，1是有边，0是没有边。

对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。
将邻接矩阵的元素从1,0替换为权重，则可表示有权图。

使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为O（1），然而，矩阵的空间复杂度为O（n²）

对于邻接表：使用n个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 i条链表对应顶点i，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 \(n^2\) ，因此它更加节省空间。然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。邻接表结构与哈希表中的「链地址法」非常相似，因此我们也可以采用类似方法来优化效率。例如，当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从O(n)优化至 O(log n) ，还可以通过中序遍历获取有序序列；此外，还可以将链表转换为哈希表，将时间复杂度降低至 O(1) 。

二、图的基础操作

图的基础操作可分为对「边」的操作和对「顶点」的操作。

1.基于邻接矩阵的实现：

添加或删除边：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用O(1) 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
添加顶点：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 0 即可，使用 O(n) 时间。
删除顶点：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 (n-1)^2 个元素“向左上移动”，从而使用 O(n^2) 时间。
初始化：传入 n 个顶点，初始化长度为 n 的顶点列表 vertices ，使用 \O(n) 时间；初始化 n * n 大小的邻接矩阵 adjMat ，使用 O(n^2) 时间。

2.基于邻接表的实现

设无向图的顶点总数为 n 、边总数为 m ，则有：

添加边：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 O(1) 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
删除边：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 O(m) 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
添加顶点：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头节点，使用 O(1) 时间。
删除顶点：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 O(n + m) 时间。
初始化：在邻接表中创建 n 个顶点和 2m 条边，使用 O(n + m) 时间。

三、图的遍历

「图」和「树」都是非线性数据结构，都需要使用「搜索算法」来实现遍历操作。

与树类似，图的遍历方式也可分为两种，即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，也称为「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」，简称 BFS 和 DFS。

1.BFS（通常借助队列来实现）

从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。