🎇【数据结构】特殊矩阵的压缩存储🎇

🌈 自在飞花轻似梦,无边丝雨细如愁 🌈

---

 

🌟 正式开始学习数据结构啦~此专栏作为学习过程中的记录🌟

---

🍰一.数组的存储结构

🚀1.数组的定义

数组是由n个相同类型的数据元素所构成的有限序列

数组和线性表的关系：
数组是线性表的推广：一维数组可以看做是一个线性表，而对于二维数组而言，可以看成是有多个线性表组成的线性表

也就是每一行$/$列视都为一个线性表，总的线性表内每一个元素也是一个定长的线性表

🚀2.数组的存储结构

1. 对于一维数组的存储，就是线性表，一维数组的所有元素在内存空间中占用一段连续的内存空间

那么，对于多维数组的存储，在计算机中是如何实现的呢？

2. 对于多维数组的存储，在计算机中仍表现为一维数组的形式，也就是一段连续的内存空间
   

接下来，我们就要去尝试模拟计算机存放多维数组的过程：

有两种映射方式：行优先和列优先

①行优先：

以二维数组为例，以行优先存储的方式为：也就是逐行放入一维数组中

🌈 下标转换关系：

（我们默认下标从0开始）对于二维数组 $A[N][M]$ 中的元素 $a_{ij}$ ，若希望在行优先转化后的一维数组中访问它，我们可以确定其在一维数组中的下标为：
 

$k=i\ast M+j$

分解代码实现：

1. 行优先二维转一维数组

void row_Reducedim(int a[][M],int *res, int row, int col)
{
	int p = 0;
	for (int i = 0; i < row; i++) {
		for (int j = 0; j < col; j++) {
			res[p++] = a[i][j];
		}
	}
}

2. 按照索引从一维数组中取值

void visit(int res[], int i, int j)
{
	if (i <= N-1 && i >= 0 && j >= 0 && j <= M-1)
	{
		int k = i * M + j;
		cout << res[k] << endl;
	}
	else
		cout << "输入违规" << endl;
}

行优先完整代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;

void row_Reducedim(int a[][4],int *res, int row, int col)
{
	int p = 0;
	for (int i = 0; i < row; i++) {
		for (int j = 0; j < col; j++) {
			res[p++] = a[i][j];
		}
	}
}


void Print(int a[], int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cout << a[i] << " ";
	}cout << endl;
}


void visit(int res[], int i, int j)
{
	if (i <= 1 && i >= 0 && j >= 0 && j <= 3)
	{
		int k = i * 4 + j;
		cout << res[k] << endl;
	}
	else
		cout << "输入违规" << endl;
}


int main() {
	int martix[2][4] =
	{ {1,2,3,4},
		{5,6,7,8} };
	int res[8];

	//二维转一维
	row_Reducedim(martix,res, 2, 4); //行优先

	cout << "行转化后的一维数组为：" << endl;
	Print(res,8);

	//二维数组元素在一维数组内的映射
	int i, j;
	cout << "对于行转换后的矩阵，输入要访问的元素在二维数组中的行,列下标数(>=0)" << endl;
	cin >> i >> j;
	visit(res, i, j);

	system("pause");
	return 0;
}

②列优先：

以二维数组为例，以行优先存储的方式为：也就是逐列放入一维数组中

🌈 下标转换关系：

对于二维数组 $A[N][M]$ 中的元素 $a_{ij}$ ，其在一维数组中的下标为：
 

$k=j\ast N+i$

分解代码实现：

1. 列优先二维转一维数组

void col_Reducedim(int a[][4], int* res1, int row, int col)
{
	int p = 0;
	for (int j = 0; j < col; j++) {
		for (int i = 0; i < row; i++) {
			res1[p++] = a[i][j];
		}
	}
}

2. 按照索引从一维数组中取值

void visit1(int res[], int i, int j)
{
	if (i <= 1 && i >= 0 && j >= 0 && j <= 3)
	{
		int k = j * 2 + i;
		cout << res[k] << endl;
	}
	else
		cout << "输入违规" << endl;
}

列优先完整代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;


void col_Reducedim(int a[][4], int* res1, int row, int col)
{
	int p = 0;
	for (int j = 0; j < col; j++) {
		for (int i = 0; i < row; i++) {
			res1[p++] = a[i][j];
		}
	}
}

void Print(int a[], int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cout << a[i] << " ";
	}cout << endl;
}


void visit1(int res[], int i, int j)
{
	if (i <= 1 && i >= 0 && j >= 0 && j <= 3)
	{
		int k = j * 2 + i;
		cout << res[k] << endl;
	}
	else
		cout << "输入违规" << endl;
}

int main() {
	int martix[2][4] =
	{ {1,2,3,4},
		{5,6,7,8} };
	int res1[8];

	//二维转一维
	col_Reducedim(martix, res1, 2, 4); //列优先

	cout << "列转化后的一维数组为：" << endl;
	Print(res1, 8);

	int a, b;
	cout << "对于列转换后的矩阵，输入要访问的元素在二维数组中的行,列下标数(>=0)" << endl;
	cin >> a >> b;
	visit1(res1, a, b);

	system("pause");
	return 0;
}

输出结果：

🍰二.特殊矩阵的存储结构

🚀1.普通矩阵的存储

对于普通的矩阵，我们可以将其视为二维数组进行处理，也就是按行优先和列优先的方式存储，在之前也已经提到过

🚀2.特殊矩阵的压缩存储

压缩存储：指为多个值相同的元素所分配一个存储空间，对零元素不分配存储空间，用于节省空间

接下来，我们来看几个典型的特殊矩阵：

🔆1.对称矩阵

对于一个n阶的方阵，我们可以将其划分为主对角线，上三角区和下三角区，而对于对称矩阵来说，有$a_{ij}=a_{ji}$，因此，若仍然采用二维数组存储，会造成一半的空间浪费

策略：

因此，我们其实只需要 存主对角线和下三角块 即可：

🌊 对称矩阵与存储后一维数组的映射关系：

我们规定矩阵元素的下标 $i，j$的范围为 $[1,n]$，而一维数组的下标默认是从0开始的

1. 一维数组大小：
   第一行：一个元素，$a_{11}$
   第二行：两个元素，$a_{21},a_{22}$
   …
   共有 $n$ 行，则元素总数 $k=n\ast (n+1)/2$

2. 压缩存储后的访问：

   又回到了，压缩完成之后，我们应该如何获取这些数据呢？

   我们只需要定义一个映射函数即可：

策略：

不难发现，如果我们希望取出二维数组内的元素 $a_{ij}$，我们已知了它的行号和列号：

①先看行向：
在$a_{ij}$上面的元素（即前$i-1$行）的元素个数为：
 

$i\ast (i-1)/2$

②再看列向：
在$a_{ij}$前面的元素（即前$j-1$行）的元素个数为:
 

$j-1$

由于一维数组下标是从$0$开始的，因此：$a_{ij}的一维数组下标=在a_{ij}前的元素个数$

再由 $a_{ij}=a_{ji}$，因此，映射函数为：

完整代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;

//打印下三角
void triangle(int a[][3], int* res, int row, int col)
{
	int p = 0;
	for (int i = 0; i < row; i++) {
		for (int j = 0; j < col; j++) {
			if (i >= j)
				res[p++] = a[i][j];
		}
	}
}

//访问
void visit(int res[], int i, int j)
{
	if (i >= j)
	{
		int k = i * (i - 1) / 2 + j - 1;
		cout << res[k] << endl;
	}
	else
	{
		int k = j * (j - 1) / 2 + i - 1;
		cout << res[k] << endl;
	}
}

//打印一维数组
void Print(int a[], int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cout << a[i] << " ";
	}cout << endl;
}

int main() {
	int martix[3][3] =
	{	{1,2,3},
		{2,1,2},
		{3,2,1} };
	int res[6];

	triangle(martix, res, 3, 3);
	cout << "下三角的一维数组为：" << endl;
	Print(res,6);

	int i, j;
	cout << "请输入需要访问的元素aij中的下标i,j(>=1)：" << endl;
	cin >> i >> j;
	visit(res, i, j);

	system("pause");
	return 0;
}

输出结果：

🔆2.三角矩阵

三角矩阵就是有一个三角区全为常量的矩阵

策略：

其储存思维和对称矩阵类似，不同之处就在于：

✅ 存储完下三角区和主对角线后，紧接着存储对角线上方的常量，也就是要在对称矩阵构造的一维数组后面添加一个常数项

1. 一维数组的大小：

    

   $k=n\ast (n+1)/2$

2. 映射函数为：

完整代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;

//打印下三角
void triangle(int a[][3], int* res, int row, int col,int n)
{
	int p = 0;
	for (int i = 0; i < row; i++) {
		for (int j = 0; j < col; j++) {
			if (i >= j)
				res[p++] = a[i][j];
		}
	}
	//存常量
	int c = a[0][n-1];
	res[n * (n + 1) / 2] = c;
}

//访问
void visit(int res[], int i, int j,int n)
{
	if (i >= j)
	{
		int k = i * (i - 1) / 2 + j - 1;
		cout << res[k] << endl;
	}
	else
	{
		int k = n * (n + 1)/2;
		cout << res[k] << endl;
	}
}

//打印一维数组
void Print(int a[], int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cout << a[i] << " ";
	}cout << endl;
}

int main() {
	int martix[3][3] =
	{ {1,4,4},
		{2,1,4},
		{3,2,1} };
	int res[6];

	triangle(martix, res, 3, 3,3);
	cout << "下三角的一维数组为：" << endl;
	//加一个常数项
	Print(res, 6+1);

	int i, j;
	cout << "请输入需要访问的元素aij中的下标i,j(>=1)：" << endl;
	cin >> i >> j;
	visit(res, i, j,3);

	system("pause");
	return 0;
}

输出结果：

🔆3.三对角矩阵

三对角矩阵也称带状矩阵，对于n阶方阵的A中的任一元素$a_{ij}$，当$|i-j|>1$时，$a_{ij}=0$

策略：

将三条对角线上的元素按行优先原则存放在一维数组中(零元素不存)

1. 一维数组的大小：
   由于只有第一行和最后一行只有两个元素，因此，一维数组大小为：
    

   $len=3n-2$

2. 映射函数为：
   由于前$i-1$行有$3i-1$个元素，当前行前面有$j-i+1$个元素
    

   $k=2i+j-3$

---

反之，若我们已知 $a_{ij}$存放于一维数组中的第 k个位置，怎么推出行数和列数呢？

$i=\lceil (k+2)/3\rceil$ 再由公式$k=2i+j-3$可以推出：$j=k-2i+3$

完整代码实现：

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;


//转一维矩阵
void Three(int a[][4], int* res, int row, int col)
{
	int p = 0;
	for (int i = 0; i < row; i++) {
		for (int j = 0; j < col; j++) {
			if (a[i][j] != 0)
				res[p++] = a[i][j];
		}
	}
}

void Print(int a[],int n) {
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cout << a[i] << " ";
	}cout << endl;
}

void visit1(int a[], int i, int j)
{
	int k = 2*i + j - 3;
	printf("a%d%d=%d\n", i,j,a[k]);
}

void visit2(int a[], int k)
{
	int i, j;
	i = ceil((k + 2) / 3);
	j = k - 2 * i + 3;
	printf("访问的元素为:a%d%d\n", i, j);
}


int main() {
	int martix[4][4] =
	{
		{1,2,0,0},
		{1,2,3,0},
		{0,2,3,4},
		{0,0,3,4}
	};
	int res[10];

	//转一维
	Three(martix, res, 4, 4);
	cout << "三对角的一维矩阵为：" << endl;
	Print(res, 10);

	//正向访问
	int i, j;
	cout << "请输入需要访问的元素aij中的下标i,j(>=1)：" << endl;
	cin >> i >> j;
	visit1(res, i, j);

	//反向访问
	int k;
	cout<<"请输入该元素在一维数组中的下标：" << endl;
	cin >> k;
	visit2(res, k);


	system("pause");
	return 0;
}

输出结果：

🔆4.稀疏矩阵

还有一种特殊矩阵，其矩阵内的非0元素远远少于零元素，则称其为稀疏矩阵

$e.g$ 如下矩阵：

我们只存取非零元素，但其分布往往没有规律，因此，我们还应该记录它的位置

策略：

将非零元素的行，列，值构成一个三元组$（行标，列标，值）$

✅ 我们用结构体定义这个三元组：

#define Maxsize 100

//结构体定义三元组
typedef struct {
	int i;
	int j;
	int val;
}Triple[Maxsize]; //结构体数组

完整代码实现：

#include<iostream>
#define Maxsize 100
using namespace std;

//结构体定义三元组
typedef struct {
	int i;
	int j;
	int val;
}Triple[Maxsize]; //结构体数组


//稀疏矩阵转三元组
void triple(Triple &T,int a[][5],int row,int col,int &p)
{
	for (int i = 0; i < row; i++) {
		for (int j = 0; j < col; j++) {
			if (a[i][j] != 0) {
				T[p].i = i+1;
				T[p].j = j+1;
				T[p].val = a[i][j];
				p++;
			}
		}
	}
}

void Print(Triple &T,int len) {
	for (int i = 0; i < len; i++) {
		printf("a%d%d=",T[i].i,T[i].j);
		cout << T[i].i<< " " << T[i].j << " " << T[i].val << endl;
	}
}

int main() {
	int martix[5][5] =
	{
		{0,2,0,0,0},
		{0,0,1,0,2},
		{3,0,0,0,1},
		{0,5,0,0,0},
		{1,0,4,0,0}
	};
	Triple T;
	int p = 0;

	//稀疏矩阵转三元组
	triple(T, martix, 5, 5, p);
	cout << "转化后的三元组为（矩阵元素下标从1开始）:\n" << endl;
	Print(T, p);

	system("pause");
	return 0;
}

输出结果：

---

 

🎇本节详细讲解了数组相关操作及各种特殊矩阵的压缩存储方式~🎇

如有错误，欢迎指正~！