魔方有 3 种不同的方块，分别为角块（8 个，每个角块有三种颜色），棱块（12 个，每个棱块有两种颜色）与中心块（6 个，每个中心块有一种颜色）。
魔方总共有 6 个面，每个面的颜色不一样，每个面被分为 9 个小面，我们称小面为 facelets，魔方总共有 54 个 facelets.
问题来了：魔方有多少种状态？
先给出答案：
为什么是这个数字呢？
三阶魔方总变化数可利用乘法原理计算，具体方法是：
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8 个角块可以互换位置（8!），也可以旋转（3），所以分子里有 8 ! ∗ 3 8 8! * 3^{8} 8!∗38
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但不能单独翻转一个角块，也就是说当前面 7 个角块都确定方向后，最后一个角块的方向也就确定了，所以分母有个 3
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12 个棱块可以互换位置（12!），也可以翻转（2），所以分子里有 12 ! ∗ 2 12 12! * 2^{12} 12!∗212
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但不能单独翻转一个棱块（也就是将其两个面对调），当前面 11 个棱块都确定方向后，最后一个棱块的方向就确定了，所以分母有个 2
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你会发现分母里还有个 2，这是为什么呢？因为奇偶性。
角块和棱块同奇同偶
看这个魔方，我们以顺时针旋转蓝色的面为例子
对于角块，顺时针看，本来是 1 3 9 7，旋转后变成 7 1 3 9；
把这个变化拆解一下：
- 7 和 1 交换：7 3 9 1
- 1 和 9 交换：7 3 1 9
- 3 和 1 交换：7 1 3 9
也就是交换了 3 次，3 是奇数；同理，棱块的交换也是 3 次
不管旋转哪个面，只要是单次转动，对于角块和棱块都是奇置换，多次转动复合起来，角块和棱块的奇偶性会保持一致。（注意：两个偶置换的复合是偶的；两个奇置换的复合是偶的；一个奇置换与偶置换的复合是奇的）
所以，不可能仅交换一对角块，也不可能仅交换一对棱块。假设你给 8 个角块和前面 10 个棱块都安排好了位置，那这剩余的 2 个棱块，其位置是确定的：如果角块是奇置换（或偶置换），那这剩余的 2 个棱块要和前面的棱块凑成奇置换（或偶置换）。
于是分母还有一个 2，因为剩余的 2 个棱块在位置上没有选择。
不能单独翻转一个棱块
既然了解了偶置换和奇置换，那我们想一想为什么不能单独翻转一个棱块。
假设给 12 个棱块的每个面都标上序号（1~24），在单步转动中，其实是 2 组奇置换，复合起来是偶置换。多次转动复合起来，还是偶置换。而单独翻转一个棱块，是奇置换，所以不可能。
不能单独翻转一个角块
如图所示，我们给每个角块的 3 个小面都标上 0，1，2，这是初始状态。注意，对于每个角，沿魔方的体对角线看入时，是一个 Y 字型，0 在最上面，1 在左边，2 在右边
我们规定，角块的方向值是它在 U 面或者 D 面的数字。
对于 U 和 D 面，不管怎么转，角块的方向都不改变。
对于其他 4 个面，顺时针或逆时针转动的效果都一样，我们只需要研究一个面，例如 F：
我们把 F 面顺时针转动 90 度，看看受影响的 4 个角块的方向值增加了多少。
可以看到，4 个角块分别增加 2，1，2，1，这说明什么呢？
说明有 2 个角块逆时针旋转了 120°，另外 2 个角块顺时针旋转了 120°，这 4 个角块一共旋转了 0°
其他情况是类似的，我们就不分析了。
因此可以推出，不管魔方怎么转，8 个角块的方向值之和都是 0
所以不可能单独翻转一个角块，一个角块翻转了，必然伴随其他的角块也翻转，来维持方向值之和是 0
【完】
参考资料
【1】魔方中的数学2-置换的定义 - 知乎
【2】Why is a single-corner twist not a valid position on a Rubik’s cube? - Puzzling Stack Exchange
【3】为什么魔方在转动一个角块后无法复原？作者：鸿鹄
