例子引入

   首先，我们考虑简单的平均估计计算：$w=E[X]$，根据 RM算法 计算过程如下：

  接着上面的例子，我们现在考虑一个较为复杂的问题，估计函数 $v(X)$ 的平均值，根据 RM算法 计算过程如下：

  接着上面的例子，我们现在考虑一个更复杂的问题，有两个随机变量，根据 RM算法 计算过程如下：

TD 算法介绍

  TD-Learning 通常指的是广泛的一类RL算法，但此处的 TD-Learning 是指一种特定的算法：状态估计算。

  TD算法是基于数据的，也就是说它不基于模型来实现强化学习的。那它要的数据是什么呢?是遵循给定的策略 $\pi$ 产生的，形式可以为一长串$(s_0,r_1,s_1....,s_t,r_{t+1},s_{t+1}...)$ 或者写成集合 ${\{(s_t,r_{t+1},s_{t+1})\}}_t$，TD算法是用这些数据来估计这个策略 $\pi$ 所对应的 state value，如下：

其中 $t=0,1,2,...$ ，$v_t(s_t)$ 是策略 $\pi$ 下 状态 $s_t$ 的状态估计值；${\alpha }_t(s_t)$是时间 $t$ 时刻 $s_t$ 的学习率。在 $t$ 时刻，只有访问的状态 $s_t$ 的值被更新，而未访问的状态 $s_t$ 的值保持不变。

  我们来看详细的分析：

  为什么 ${\bar{v}}_t$ 被称为 TD target ？这是因为 TD 算法将是将 $v(s_t)$ 朝着 ${\bar{v}}_t$ 改进，数学证明如下：

   那么，TD error 是什么？两个相续时间变量的差值，这也是被叫做 时序差分算法 的原因，它实际反映了 $v_t$ 与 $v_{\pi }$ 之间的误差，数学证明如下：

如果 $v_t=v_{\pi }$，则 ${\delta }_t$应该为零（在期望意义上）；因此，如果 $s_t$ 不为零，则 $v_t\ne v_{\pi }$。TD error 可以解释为新息，也就是从经验 $(s_t，r_{t+1}，s_{t+1})$中获得的新信息。
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   我们可以知道 TD算法仅估计给定策略的状态值，它不能估计动作值，也不能搜索最优策略，TD算法对于理解强化学习的核心思想至关重要。那么，TD算法从数学上做了什么？它求解给定策略 $\pi$ 的 Bellman 方程。

   首先，我们引入一个新的贝尔曼公式，并用 RM 算法求解，如下：

可以发现，上述式子中RM 算法求解贝尔曼方程得到的式子与 TD 算法的式子相似，但有两个不同点值得特别注意，第一要反复采样得到集合 $\{(s,r,s^{\prime })\}$, $k=1,2,3,\dots \dots$；第二，认为 $v_{\pi }(s^{\prime })$ 是已知的。 消除两个不同点的方法如下：1、将 $\{(s,r,s^{\prime })\}$ 改为 $\{(s_t，r_{t+1}，s_{t+1})\}$ ，因为等式右边$v_{\pi }$没办法很好估计，这样就只有通过一个 episode 循环迭代，即访问就更新不访问不更新。第二，用状态 $s^{\prime }$ 的估计值 $v_k(s^{\prime })$ 取代 $v_{\pi }(s^{\prime })$ 。

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Saesa 算法

   TD算法只能估计状态值而不能估计动作值，Sarsa算法是一种可以直接估计动作值的算法，我们来看看如何使用Sarsa来寻找最优策略。
   首先，我们要估计给定策略 $\pi$ 下的动作值。假设我们有一些经验数据 $\{(s_t,a_t,r_{t+1},s_{t+1},a_{t+1}){\}}_t$，那么可以使用以下的Sarsa算法来估计动作值：

$q_t(s_t,a_t)$ 是对 $q_{\pi }(s_t,a_t)$ 的估计；${\alpha }_t(s_t,a_t)$ 是学习率，它取决于 $s_t$ 和 $a_t$ 。

   我们可以发现，Sarsa是用动作值估计$q(s,a)$ 替换TD算法中的状态值估计 $v(s)$ ，Sarsa通过估计值函数来更新策略。因此，我们可以简单理解为 Sarsa是TD算法的动作值版本。与TD算法类似，不同之处在于，在Sarsa算法中，我们关注的是动作值函数 $q(s,a)$，而不是状态值函数 $v(s)$。Sarsa通过估计和更新动作值函数来学习最优策略。具体而言，Sarsa在每个时间步中观察到当前状态和动作，然后执行该动作并观察到奖励和下一个状态。然后，它使用新的观测值来更新动作值函数，以逐步改进对最优动作值的估计。因此，Sarsa是基于TD算法的一种变体，通过将状态值估计替换为动作值估计，使其成为一种动作值版本的TD算法。

   RL的最终目标是找到最优策略。要做到这一点，我们可以将Sarsa与 策略优化 结合，这种组合算法也称为Sarsa。

这个算法在更新 $q(s_t,a_t)$ 之后，会立即更新 $s_t$ 的策略， 策略更新采用 $\epsilon -greedy$ 策略，以平衡利用和探索，这个核心思想是使用算法来解决给定策略的贝尔曼方程。

Expected Sarsa

   在 Expected Sarsa 算法中，是将 Sarsa 算法的 $r_{t+1}+\gamma q_t(s_{t+1},a_{t+1})]$ 替换成 $r_{t+1}+\gamma E[q_t(s_{t+1},A)]$，其中 $\gamma$ 是折扣因子， $q_t(s_{t+1},a_{t+1})$ 是根据当前策略 $\pi$ 在下一个状态 $s_{t+1}$ 和动作 $a_{t+1}$ 的动作值估计，而在 Expected Sarsa 算法 $E[q_t(s_{t+1},A)]$ 是根据当前策略 $\pi$ 在下一个状态 $s_{t+1}$ 和所有可能的动作 $A$ 的动作值的期望。

   换句话说，Expected Sarsa算法通过对下一个状态的所有可能动作的动作值进行期望，来计算 TD target，而不是像Sarsa算法那样只考虑下一个状态和选择的动作的动作值。这种改变使 Expected Sarsa 算法更加稳定，因为它对不同动作的期望值进行了考虑，而不仅仅是选择一个动作的值。这可以减少由于不精确的动作值估计而导致的波动性，并提供更准确的 TD target .

   相对于Sarsa算法，Expected Sarsa算法需要更多的计算，因为随机变量减少了，随机变量从 $(s_t,a_t,r_{t+1},s_{t+1},a_{t+1})$ 到 $(s_t,a_t,r_{t+1},s_{t+1})$ ，Expected Sarsa算法考虑了所有可能的动作的期望值，它将 $a_{t+1}$ 从随机变量中移除。这样一来，估计值中的随机性减少了，因为不再依赖于选择的下一个动作的随机性。这种减少随机变量的做法有助于降低估计方差，使算法更加稳定。通过减少随机性的影响，Expected Sarsa可以提供更可靠和准确的动作值估计，从而改善学习过程。

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n-step Sarsa

   n-step Sarsa，是 Sarsa 与 MC 结合的算法，数学推导如下：

   我们很容易知道 n-step Sarsa 需要的数据有 $(s_t,a_t,r_{t+1},s_{t+1},a_{t+1},...,r_{t+n},s_{t+n},a_{t+n})$ ，这样面临一个问题就是 由于在时间步 $t$ 时尚未收集到 $(r_{t+n},s_{t+n};a_{t+n})$ 的信息，我们无法在步骤 $t$ 中实现 n-step Sarsa，所以要等到时间步 $t+n$ 才来更新 $(s_t,a_t)$ 的动作值.
$q_{t+n}(s_t,a_t)=q_{t+n-1}(s_t,a_t)-{\alpha }_{t+n-1}(s_t,a_t)[q_{t+n-1}(s_t,a_t)-[r_{t+1},\gamma r_{t+2}+...+{\gamma }^n{q}_{t+n-1}(s_{t+n},a_{t+n})]]$

在n-step Sarsa算法中，我们需要等待n个时间步才能计算并更新$(s_t,a_t)$ 的动作值，通过等待 $n$ 个时间步来更新动作值，n-step Sarsa 算法能够更准确地估计动作值函数，并在学习过程中利用更长的时间序列信息。这有助于提高算法的性能和学习效果。由于n-step Sarsa包含了Sarsa和MC学习作为两种极端情况，它的性能是Sarsa和MC学习的综合体：当 $n$ 较大时，其性能接近MC学习，因此具有较大的方差但较小的偏差；当 $n$ 较小时，其性能接近Sarsa，因此由于初始猜测的存在具有相对较低的方差，相对较大的偏差。综上所述，n-step Sarsa是在Sarsa和MC学习之间取得平衡的一种方法。通过调整n的值，我们可以在偏差和方差之间进行权衡，从而获得更适合特定问题的性能表现。此外，n-step Sarsa还可以用于评估策略的价值，并与策略改进一起使用来搜索最优策略。

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Q-learning

   Q-learning 是最常用的强化学习算法之一，Sarsa可以估计给定策略下的动作值函数，但它必须与策略改进步骤结合使用才能找到最优策略，而 Q-learning 可以直接估计最优动作值函数，从而找到最优策略。其数学表达式如下：

通过上面式子我们知道 Q-learning 和 Sarsa非常相似，它们的区别仅在于 TD target 的计算方式：

  Q-learning 中的 TD target 为 $r_{t+1}+\gamma ma{x}_{a\in A}{q}_t(s_{t+1},a)$。
  Sarsa中的 TD target 为 $r_{t+1}+\gamma q_{(}{s}_{t+1},a_{t+1})$。

在Q-learning中，TD target 采用了对下一个状态 $s_{t+1}$ 的所有可能动作 $a$ 的最大动作值函数。这意味着 Q-learning 在更新 Q 值时，考虑了在下一个状态中选择最优动作的情况。而在Sarsa中，TD target 采用了在下一个状态 $s_{t+1}$ 中根据当前策略选择的动作 $a_{t+1}$ 的动作值函数。这意味着Sarsa 在更新 Q 值时，是根据当前策略在下一个状态中选择了一个动作进行更新。因此，Q-learning 和 Sarsa在 TD target 的计算方式上有所不同，这也导致了它们在算法行为和性能上的差异。

Q-learning 在数学上求解的是一个 贝尔曼最优方程：

   在进一步学习Q学习之前，我们首先介绍两个重要的概念：on-policy 和 off-policy 。在 TD 算法中存在两种策略：

   行为策略（behavior policy）：用于生成经验样本。
   目标策略（target policy）：不断更新以朝向最优策略。

当行为策略与目标策略相同时，称为on-policy；当它们不同时，称为 off-policy

off-policy 可以使用其他策略生成的经验样本来搜索最优策略，行为策略可以选择为具有探索性质。例如，如果我们希望估计所有 状态-动作 的动作值，我们可以使用一个具有探索性质的策略生成足够多次访问每个 状态-动作 的轨迹。

如何判断一个TD算法是 on-policy 还是 off-policy？
   首先，看算法在数学上是解决贝尔曼公式，还是是贝尔曼最优公式
   其次，看实现该算法所需的条件

现在，我们来判断之前学的算法是 on-policy 还是 off-policy， 第一个我们来判断Sarsa，第二个判断基于蒙特卡洛的方法，第三个判断Q-learning

Sarsa是一个on-policy算法。
   首先，在数学上 Sarsa 是在求解给定策略 $\pi$ 的贝尔曼方程：

   其次，看实现 Sarsa 算法所需的变量条件 ：

   Sarsa 算法中，如果给定了$(s_t,a_t)$，那么 $r_{t+1}$ 和$s_{t+1}$ 并不依赖于任何策略，$a_{t+1}$ 是遵循策略 ${\pi }_t(s_{t+1})$ 生成的，可以知道策略 ${\pi }_t$ 既是目标策略又是行为策略。
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MC 是一个on-policy算法。
   首先，在数学上 MC 是通过给定的策略 $\pi$ 采样计算 $q(s,a)$

   其次，mc方法的实现是

策略用于生成样本，这些样本进一步用于估计策略的动作值。基于动作值，我们可以改进策略。

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Q-learning 是一个off-policy算法。
   首先，Q-learning 的目的是求解贝尔曼最优性方程：

   其次，看实现 Q-learning 算法所需的变量条件 ：

Q-learning 算法的 on-policy 的 version，如下：

Q-learning 算法的 off-policy 的version，如下：

TD 算法总结

   上述的所有的 TD 算法都可以用这样一个统一的表达式给表达出来：

${\bar{q}}_t$ 是 TD target.

通过设置 ${\alpha }_t(s_t,a_t)=1$，可以将MC方法表达为上述统一表达式，因此 $q_{t+1}(s_t,a_t)={\bar{q}}_t$。

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上述所有算法都可以视为求解贝尔曼方程或贝尔曼最优方程的算法：