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🦄专栏：离散数学考前复习（知识点+题）

🍓专栏：概率论期末速成（一套卷）

🐳专栏：数字电路考前复习

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前言： 身为大学生考前复习一定十分痛苦，你有没有过以下这些经历：

1.啊明天要考试了，关键这知识点它不进脑子啊。

2.小朋友，你是否有很多问号，为什么，快考试了你还啥也不会。

3.你们复习的时候，也是学着学着，手机就自动跳到手里了吗？

4.真正的大学生敢于直面崭新的课本。

5.睡也不敢睡，学也不想学。

6.监考老师+地理位置+附近战友友善度=考试分数。

🍓🍓当然以上都是开些玩笑，看看下面这些题，它可以让零基础未开始学习的你以最快的速度突击期末考试，毕竟把考题看会了，考试也就可以随随便便的通过了。

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目录

🍓第三十一题

知识点：等价关系概念

🍓第三十二题

知识点：如何快速掌握自反闭包、关系闭包，传递闭包的求法

🍓第三十三题

🍓第三十四题

🍓第三十五题

🍓第三十六题

🍓第三十七题

🍓第三十八题

🍓第三十九题

知识点：满射函数、单射函数和双射函数

🍓第四十题

🍓结语

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🍓第三十一题

解析

知识点：等价关系概念

A 集合是非空集合 , A ≠ ∅, 并且 R 关系是 A 集合上的二元关系 , R ⊆ A × A；如果 R 关系是 自反 , 对称 , 传递的 , 那么称 R 关系是等价关系。

🍓第三十二题

解析

知识点：如何快速掌握自反闭包、关系闭包，传递闭包的求法

点击视频链接，如何快速掌握自反闭包、关系闭包，传递闭包的求法|期末大学生|离散数学

🍓第三十三题

🍓第三十四题

解析

当集合为{3，5，15}时，偏序关系如图3-16(a)所示，为 ≤={〈3，3〉，〈5，5〉，〈15，15〉，〈3，15〉，〈5，15〉}． 当集合为{1，2，3，6，12}时，偏序关系如图3-16(b)所示，为 ≤={〈1，1〉，〈2，2〉，〈3，3〉，〈6，6〉，〈12，12〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈1，6〉，〈1，12〉，〈2，6〉，〈2，12〉，〈3，6〉，〈3，12〉，〈6，12〉}． 当集合为{3，9，27，54}时，偏序关系如图3-16(c)所示，为 ≤={〈3，3〉，〈9，9〉，〈27，27〉，〈54，54〉，〈3，9〉，〈3，27〉，〈3，54〉，〈9，27〉，〈9，54〉，〈27，54〉}． 只有集合{3，9，27，54}是全序关系．

下面是找到的原题

🍓第三十五题

解析

给定A = Ø（空集）和B = {Ø, {Ø}}，我们需要计算 B - A。

B - A 表示从集合B中移除集合A的元素。在这种情况下，A 是空集，它没有任何元素。

因此，B - A 将保留B中的所有元素。

所以 B - A = {Ø, {Ø}}。

🍓第三十六题

解析

在离散数学中，我们使用笛卡尔积运算符 "×" 来表示两个集合的笛卡尔积。对于集合 A={a,b} 和集合 P(A)={ {}, {a}, {b}, {a,b} }，它们的笛卡尔积 P(A) × A 是一个包含所有可能有序对的集合，其中第一个元素来自 P(A)，第二个元素来自 A。

计算 P(A) × A，我们可以将每个 P(A) 中的元素与 A 中的元素配对。对于本例，得到的笛卡尔积为：

P(A) × A = {({}, a), ({}, b), ({a}, a), ({a}, b), ({b}, a), ({b}, b), ({a, b}, a), ({a, b}, b)}

所以，P(A) × A 包含8个有序对。故选C

🍓第三十七题

解析

如何找到集合 B 的上确界？

在一个偏序关系中，上确界是指集合中的一个元素，它大于等于集合中的所有其他元素，并且是这样的元素中最小的一个。

对于集合 B={2,3,6,12}，我们需要在集合 A={2,3,6,12,24,36} 中找到一个元素，它大于等于集合 B 中的所有元素，并且是这样的元素中最小的一个。

根据集合 B 的元素，我们可以观察到 12 是集合 A 中大于等于集合 B 中所有元素的最小值。因此，12 是集合 B 的上确界。

🍓第三十八题

解析

和前面的题一样画出真值表解决

🍓第三十九题

解析

知识点：满射函数、单射函数和双射函数

当涉及到函数的映射关系时，满射函数、单射函数和双射函数是三个重要的概念，它们描述了函数在输入和输出之间的关系。

1. 满射函数（Surjective function）：满射函数是指对于每个输出值，至少存在一个输入值与之对应。换句话说，函数的值域等于其目标域。形式化地，对于一个函数 f: A → B，对于任意的 b ∈ B，都存在一个 a ∈ A，使得 f(a) = b。在满射函数中，函数的映射将整个目标域覆盖，每个输出值都有至少一个对应的输入值。直观上来看，满射函数是一种"覆盖"了目标域中的所有元素的函数。
2. 单射函数（Injective function）：单射函数是指不同的输入值对应不同的输出值。换句话说，函数的不同输入值具有不同的输出值。形式化地，对于一个函数 f: A → B，对于任意的 a₁, a₂ ∈ A，并且 a₁ ≠ a₂，有 f(a₁) ≠ f(a₂)。在单射函数中，函数的映射是一对一的，没有多个不同的输入值映射到同一个输出值。直观上来看，单射函数是一种"一对一映射"的函数。
3. 双射函数（Bijective function）：双射函数是满足满射和单射性质的函数，也称为一一映射函数。换句话说，双射函数既是满射函数，也是单射函数。形式化地，对于一个函数 f: A → B，它既是满射函数又是单射函数，即对于任意的 b ∈ B，存在且只存在一个 a ∈ A，使得 f(a) = b。在双射函数中，函数的映射既覆盖了整个目标域，又保持了一对一的映射关系。直观上来看，双射函数是一种"一一对应"的函数，每个输入值都唯一对应一个输出值，并且每个输出值都有唯一的对应输入值。

总结：满射函数描述了函数的值域和目标域之间的关系，单射函数描述了函数的输入和输出之间的一对一映射关系，而双射函数既满足值域和目标域的关系，又满足输入和输出之间的一对一映射关系。

🍓第四十题

解析

这里为了更好的理解我将NQR改成了ABC

A选项

集合 S = {A, B, C} 包含了元素 A、B 和 C。命题是 "2 ∈ A"，即数字 2 是集合 A 的一个成员。另外，还给出了条件 "A ∈ S"，即集合 A 是集合 S 的一个成员。

然而，需要注意的是，题目中没有明确指定 A、B 和 C 的具体定义和元素。如果 A 是一个集合，并且数字 2 是该集合的成员，我们无法推断出数字 2 是集合 S 的成员。因为 S 可能包含了其他与 A 不相关的元素。

因此，根据提供的信息，不能准确判断命题是否正确：2 ∈ S。

B选项

集合 S = {A, B, C} 包含了元素 A、B 和 C。命题是 "A ⊂ C"，即集合 A 是集合 C 的子集。另外，还给出了条件 "C ∈ S"，即元素 C 是集合 S 的一个成员。

根据子集关系的传递性，如果 A 是 B 的子集，而 B 是 C 的子集，那么可以推断出 A 是 C 的子集。

然而，在这种情况下，如果 A 是 C 的子集，并且 C 是 S 的一个成员，并不能推断出 A 是 S 的子集。这是因为集合 S 中还可能存在其他元素（例如 B），而 A 并不一定是这些元素的子集。

C选项

正确

D选项

集合 S = {A, B, C} 包含了元素 A、B 和 C。命题是 "∅ ⊂ A"，即空集是集合 A 的一个子集。另外，给出了条件 "∅ ⊂ S"，即空集是集合 S 的一个子集。

然而，对于命题 "∅ ⊂ N∩S"，它是不正确的。这是因为对于任何集合 A，都有空集 ∅ 与 A 的交集为 ∅，即 ∅ ∩ A = ∅。因此，在这个情况下，空集与 N∩S 的交集也应该是空集，即 ∅ ∩ (N∩S) = ∅。

🍓结语

❤️❤️一路看到这里，相信你的离散的考试应该已经增加了几分胜算💪🏻

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    cout<<"对编程，算法，人工智能，机器学习，深度学习，";
    cout<<"图像处理，大数据挖掘，web前端网页设计等等感兴趣的同学";
    cout<<"可以关注命运之光，命运之光正在努力学习，";
    cout<<"不断的提升自己的专业能力，耗油跟，加加布鲁根！"<<endl; 
    return 0;
}

再接再厉，继续加油！