介质中的平面电磁波与色散效应

news2024/12/19 21:58:16

目录

理想介质中的平面电磁波

方程推导

解的讨论

​​​​​​​瞬时形式

等相面

参数讨论

导电媒质中的均匀平面波

方程推导

解的讨论

波的特征分析

色散效应的讨论

理想介质中的平面电磁波

方程推导

已知两个方程

\frac{d^2 \dot{E}_y}{dx^2}-j \omega \mu \gamma\dot{E}_y-(j\omega)^{2}\mu \varepsilon \dot{E}_y=0

\frac{d^2 \dot{H}_z}{dx^2}-j \omega \mu \gamma\dot{H}_z-(j\omega)^{2}\mu \varepsilon \dot{H}_z=0

我们如果令k^2=(j\omega)^{2}\mu \varepsilon

方程就可以化简为

这两个方程在数学形式上完全是一样的，我们很容易写出解答

\dot{E}_y(x)=Ae^{-kx}+Be^{kx}

我们一般记为\dot{E}_y(x)=\dot{E}_y^{+}e^{-kx}+\dot{E}_y^{-}Be^{kx}

我们现在把待定常数另外取了，为了和物理意义相符合

我们同理可以得到

\dot{H}_y(x)=\dot{H}_y^{+}e^{-kx}+\dot{H}_y^{-}Be^{kx}

我们得到了均匀正弦电磁波的解答，也就是通解

解的讨论

这四个常数，取决于波传播的介质分布以及场区的边界条件

这四个待定常数只有两个是独立的，两两之间相互会有牵连

电场和磁场之间的相互转化才会形成电磁波，电场和磁场之间互为因果关系

k=j\omega \sqrt{\mu \varepsilon}

如果现在正弦平面波在无限大理想介质中传播，如果现在有一个天线，发射了电磁波，在介质中前进，介质是无限大，在前进过程中，始终碰不到障碍物，就不会有反射波的存在，就只会有入射波

此时我们就可以简化通解的形式

我们可以从复数形式，转变成

​​​​​​​瞬时形式

E_{y}(x,t)=\sqrt{2} E_t^{+}cos(\omega t-\beta x+\varphi_E^{+})+\sqrt{2} E_t^{-}cos(\omega t-\beta x+\varphi_E^{-})

我们之前学过f_1(t-\frac{x}{v})这是一个向着x增加方向前进的波

在上述表达式里面，左边那一项往正方向前进，后一项往负方向前进

我们把前一项称为入射波，后一项就是反射波

如果我们现在的媒质是无限大媒质，在无限大介质中反射波并不存在

所以在无限大介质中，我们只有入射波E_{y}(x,t)=\sqrt{2} E_t^{+}cos(\omega t-\beta x+\varphi_E^{+})

相应的磁场我们也可以写出来瞬时形式

 H_{y}(x,t)=\sqrt{2} H_t^{+}cos(\omega t-\beta x+\varphi_H^{+})

我们现在仍然有两个待定的常数

电场强度和磁场强度的初相角对结果影响不大，主要取决于初始时刻的选择

有效值和振幅并不取决于我们初始值的选择

对于入射波来说，在空间任意一点，电场强度

\frac{E_y(x,t)}{H_z(x,t)}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}=Z_0

我们由此得到

\varphi_E^{+}=\varphi_H^{+},E_y^{+}/H_z^{+}=Z_0

在空间任意一点，电场强度和磁场强度是同向的

振幅之比取决于媒质的波阻抗，一个确定之后，另外一个就确定了

这是理想介质中正弦波传播的一个重要特征

等相面

我们下面研究等相面

我们得到

\frac{dx}{dt}=\frac{\omega}{\beta}这是等相面的前进速度

在正弦平面波里面，等相面和波前面是重合的

参数讨论

在正弦平面波里面，还有一个很重要的参数，我们现在这个波，前进一个周期的时候，等相面移动的距离

VT=\lambda=\frac{2 \pi}{\beta}

\beta \lambda =2 \pi

波前进一个波长，相位要滞后两pi

\beta称作相位常数，表示向后滞后了多少

这个波在移动的时候，还有一个很重要的特征

E_{y}(x,t)=\sqrt{2} E_t^{+}cos(\omega t-\beta x+\varphi_E^{+})

我们让时间固定，t_0固定以后，在空间的分布就是一个正弦波

t_0+\Delta t在空间的分布仍然是正弦

但是相比而言，向着正方向前进了一点点

我们让x固定，这一点随着时间做正弦变化

我们再看另外一点x_0+\Delta x

这一点也随着时间做正弦变化

空间所有点的电场或者磁场，随着时间做同样频率的正弦变化

不同地两点他们的相位变化是不一样的

我们空间所有点的电场强度，磁场强度，随着时间都做正弦变化，但是相位是有差异的，正是因为这种差异，所以才有了波的传播

在确定正弦平面波的时候，我们有三个要素：振幅，角频率，相位角

给定三个，我们就可以写出表达式，问题就可以得到解决

写出表达式以后，我们再写出波阻抗，电场强度除以波阻抗就得到了磁场分量

电场和磁场相互垂直，并且和传播方向满足右手螺旋定则

黑白照相就只能符合振幅，彩色照相则要分辨来光的不同频率

有一种照相叫做激光全息照相，不仅反应强弱振幅，角频率，也能反应初相位，所以立体感就非常强了，这就反映了我们的初相位，这就是激光全息照相

导电媒质中的均匀平面波

方程推导

对于导电媒质来说，\gamma \neq 0

波仍然沿着x方向前进，我们现在写出这个方程相应的复数形式，

\frac{d^2 \dot{E}_y}{dx^2}-j \omega \mu \gamma\dot{E}_y-(j\omega)^{2}\mu \varepsilon \dot{E}_y=0

\frac{d^2 \dot{H}_z}{dx^2}-j \omega \mu \gamma\dot{H}_z-(j\omega)^{2}\mu \varepsilon \dot{H}_z=0

我们令k^2=j\omega \mu \gamma +(j \omega)^{2} \mu \varepsilon

这两个方程就可以进行简化

 \frac{d^2 \dot{E}_y}{dx^2}-k^2 \dot{E}_y= 0

\frac{d^2 \dot{H}_z}{dx^2}-k^2 \dot{H}_z= 0

方程和介质中是一样的，但是\gamma不一样

现在我们看这个东西，我们再写一写

k^2=(j \omega)^2 \mu \varepsilon[1+\frac{\gamma}{j \omega \varepsilon}]

现在我们看这个结果，和我们之前讨论的有什么差异

我们令

\varepsilon^{\prime}=\varepsilon +\frac{\gamma}{j \omega}

我们可以得到

k^2=(j \omega)^2 \mu \varepsilon^{\prime}

这个结果如果和前者的结果相比较

从数学形式上来看，完全相似

我们把\varepsilon^{\prime}称为等效介电常数

我们可以设想把导电媒质撤掉，换上所谓的等效理想介质

在等效介质中的传播特性和理想中的一样

我们把理想中的相应公式，换成\varepsilon^{\prime}

这就是我们分析导电媒质的一种等效思想

我们来看一下，这个k就不像理想介质中那么单纯（是一个纯虚数）

如果\varepsilon^{\prime}是一个复数，那么k就不会是一个纯虚数，可以写成\alpha +j \beta

解的讨论

解答我们仍然可以写成

\dot{E}_y(x)=\dot{E}_y^{+}e^{-kx}+\dot{E}_y^{-}Be^{kx}

\dot{H}_y(x)=\dot{H}_y^{+}e^{-kx}+\dot{H}_y^{-}Be^{kx}

但是我们现在要写出这个解答的瞬时形式

无限大的导电媒质意味着没有反射波，只有入射波

E_y (x,t)=\sqrt{2} E_y^{+}e^{-\alpha x}cos(\omega t -\beta x +\varphi_E^{+})

H_z (x,t)=\sqrt{2} H_z^{+}e^{-\alpha x}cos(\omega t -\beta x +\varphi_H^{+})

波的特征分析

我们如果把e的指数此按住不看，因子和理想介质中一样，仍然代表沿着x方向前进的波

但是我们要注意，跟刚才一样，我们说对空间任意一点来说，电场分量和磁场分量随着时间都做正弦变化，对导电媒质中来说，如果我们让x=x_0振幅不仅取决于振幅，还取决于指数次幂

意味着在导电媒质中，空间中电场磁场的振幅变得不一样了，随着前近距离的增长变得越来越小，导电媒质中的平面波是一种有衰减的正弦波

\alpha称作衰减常数

如果考虑反射波的话，也是一种衰减的正弦波

我们再看，对于我们现在的这个波，它的等相面前进的速度，我们说取决于\beta

对这样的自变量形式，在数学上来说，这个形式没有变，等相面前进的速度是\frac{\omega}{\beta}

在理想介质中，不同频率的波前进速度是一样的，究其根本原因在于

\beta=\omega \sqrt{\mu \varepsilon}

我们现在就要问在导电媒质中\beta会随\omega作线性变化吗？

如果不随着线性变化，那么速度就并不相等

我们可以证明

\alpha =\omega \sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{\gamma}(\sqrt{1+(\frac{\gamma}{\mu \varepsilon})^2})-1}

我们说这里的\beta=\omega \sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{\gamma}(\sqrt{1+(\frac{\gamma}{\mu \varepsilon})^2})+1}

现在的\beta不是\omega的线性函数

色散效应的讨论

两个不同频率的正弦波在导电媒质中的前进速度是不一样的

因此会出现色散效应

收敛是发散的相反词（不到一起去了）

通信里面的电磁波只是一种载波，载波就是把我有用的信息，调制到它上面，然后我们把它发射出去，我们有用的信息里的信号，有很多不同频率，声音信号含有大量不同频率分量的信号

如果有先后的话，后接受的可能不会接受到，所以就会产生畸变，也就是相位畸变

我们这里的\alpha也是随着频率变化的，也就是振幅是会产生变化的，我们看到在导电媒质里面传播电磁波的时候，都会出现色散效应

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