Logistic系统被广泛应用在各个领域中，如生态学、物理学和社会科学等，也被用于密码学和数据加密中。在工业和商业中，混沌Logistic系统也被用于数据编码和保密通信。Logistic系统是一种非常简单的二次多项式形式的映射。

混沌Logistic系统指的是一类基于混沌现象的数学模型，它可以用来模拟和描述一些系统中出现的复杂动态行为，如自然界中的天气系统和生物体的生命活动等。在Logistic系统中，混沌模型通过迭代计算去逼近某个“平衡点”，这种平衡点也称为混沌吸引子。

混沌Logistic系统的基本方程式如下：

$x_{n+1}=r{x}_n(1-x_n)$

其中，$x_n$表示系统在第$n$次迭代后达到的状态，$r$为混沌参数，可以通过改变$r$的取值来产生不同的混沌行为。该方程式能够产生丰富的动态行为，如周期、混沌和吸引子等。

混沌Logistic系统被广泛应用在各个领域中，如生态学、物理学和社会科学等，也被用于密码学和数据加密中。在工业和商业中，混沌Logistic系统也被用于数据编码和保密通信。

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clc
close all
%分岔图
%离散系统

%% 1Logistic系统
%% 1.1Logistic系统 两个典型的a，进行迭代的效果
d=0.004;
x=d:d:1-d;
Nx=length(x);
BF=zeros(1,Nx);
a1=2.1;
a_k1=a1;%第一个a=2.1
a2=3.3;
a_k2=a2;%第二个a=3.3
x1=x;
x2=x;
%在系统中迭代50次
for m=1:50
    %把结果绘图
    f1=figure(1);
    set(f1,'Color',[1,1,1])
    clf
    subplot(1,2,1)
    plot(a1*ones(size(x1)),x1,'.')
    ylim([0,1])
    text(a1-0.8,0.5,['a1=',num2str(a1)])
    text(a1-0.8,0.4,['迭代次数',num2str(m)])
    subplot(1,2,2)
    plot(a2*ones(size(x1)),x2,'.')
    ylim([0,1])
    text(a2-0.8,0.5,['a2=',num2str(a2)])
    text(a2-0.8,0.4,['迭代次数',num2str(m)])
    pause(0.1)
    %更新下一次迭代
    x1=Logistic(x1,a_k1);
    x2=Logistic(x2,a_k2);
end

%% 1.2 不同a，绘制分岔图
%初始种群采用均匀分布
d=0.005;
x=d:d:1-d;
a=0:0.004:4;%把a采集的足够密，就可以绘制随参数a变化的分岔图

Nx=length(x);
Na=length(a);
BF=zeros(Na,Nx);%初始化最终储存的矩阵

for k=1:Na
    a_k=a(k);
    x1=x;
    %在系统中迭代200次
    for m=1:200
        x1=Logistic(x1,a_k);
    end
    %把结果保存
    BF(k,:)=x1;
end

%画图
figure()
hold on
for k=1:Na
    a_k=a(k);
    plot(a_k*ones(1,Nx),BF(k,:),...
        'LineStyle','none','Marker','.','MarkerFaceColor','k','MarkerEdgeColor','k',...
        'MarkerSize',1)
end
hold off
xlabel('a')

%% 1.3 不同a 动图，把上面那个分岔图的过程展示出来
d=0.005;
x=d:d:1-d;
a=0:0.004:4;

Nx=length(x);
Na=length(a);
BF=ones(Na,1)*x;
BFx=a'*ones(1,Nx);
%在系统中迭代100次
for m=1:90
	%绘制图片
    f3=figure(3);
    clf
    scatter(BFx(:),BF(:),0.5,'k','MarkerEdgeAlpha',0.5)
    text(0.7,0.6,['迭代次数',num2str(m)])
    xlabel('a')
    ylabel('x')
    set(f3,'Color',[1,1,1])
    pause(0.1)
    
	%迭代更新
    for k=1:Na
        a_k=a(k);
        x1=BF(k,:);
        x1=Logistic(x1,a_k);
        %把结果保存
        BF(k,:)=x1;
    end
end

%% 1.4 不同a上颜色
d=0.002;
x=d:d:1-d;
a=0:0.002:4;
Nx=length(x);
Na=length(a);
BF=zeros(Na,Nx);

for k=1:Na
    a_k=a(k);
    x1=x;
    %在系统中迭代250次
    for m=1:250
        x1=Logistic(x1,a_k);
    end
    %把结果保存
    BF(k,:)=x1;
end
%上颜色
BF_C=zeros(size(BF));
for k=1:Na
    BF_k=BF(k,:);
    [N,~,bin] = histcounts(BF_k,[0:0.01:1]);%统计每个小区间，点的数量，作为颜色
    BF_C(k,:)=N(bin);%记录各个点的颜色
end
BFy=BF;
BFx=a'*ones(1,Nx);
figure()
scatter(BFx(:),BFy(:),0.5,BF_C(:),'MarkerEdgeAlpha',0.5)
caxis([0,20])
colormap(jet)
ylim([0,1]);
xlim([2,4]);
xlabel('\lambda' )
ylabel('r')
% set(gca,'XLim',[-1 1])  		% X轴显示范围
set(gca,'YTick',[0:0.2:1]) 	% 设置坐标刻度
set(gca,'XTick',[2:0.4:4]) 	% 设置坐标刻度
%% 后置函数
function x2=Logistic(x1,a)
%Logistic系统
%x(n+1)=a*(1-x(n))*x(n)
x2=a*(1-x1).*x1;
end