B树(C语言描述)

news2024/11/28 14:42:37

一.概念

B树是一种多路平衡查找树，不同于二叉平衡树，他不只是有两个分支，而是有多个分支，一棵m阶B树(balanced tree of order m)是一棵平衡的m路搜索树，B树用于磁盘寻址，它是一种高效的查找算法。

二.性质

  • 根节点至少有2个子女
  • 每个非根节点所包含的关键字个数x满足以下关系：⌈m/2⌉−1⩽x⩽m−1\lceil m/2 \rceil - 1 \leqslant x \leqslant m - 1⌈m/2⌉−1⩽x⩽m−1
  • 所有叶子结点都在同一层
  • 除根结点以外的所有结点（不包括叶子结点）的度数正好是关键字总数加1，故内部子树个数 k 满足：⌈m/2⌉⩽k⩽m\lceil m/2 \rceil \leqslant k \leqslant m⌈m/2⌉⩽k⩽m

三.B树的各种操作 

1.B树的插入 

B树的插入操作只能在叶子结点上进行操作，而且叶子结点上关键字的个数要严格满足B树的性质：⌈m/2⌉−1⩽x⩽m−1\lceil m/2 \rceil - 1 \leqslant x \leqslant m - 1⌈m/2⌉−1⩽x⩽m−1

插入步骤如下：

  1. 寻找合适的叶子结点
  2. 在叶子结点上找到合适的插入位置
  3. 插入后判断关键字个数是否超过m-1，如果超过则结点需要分裂，分裂从中间劈开，并将中间的元素插入到当前结点的父亲结点中，判断父亲结点关键字个数是否超过m-1，如果超过继续分裂，重复第3步

 2.B树的删除

 

 

 

 四.代码各函数分解实例

1.结点的结构体定义 

typedef struct Node
{
	int level;//阶数 
	int keyNum;//关键数的数量
	int childNum;//孩子的数量
	int *keys;//关键字指针数组
	struct Node **children;//孩子数组
	struct Node *parent;//父亲指针 
}Node;

 2.初始化结点

Node *initNode(int level)
{/*参数:树的阶数*/
	Node *node = (Node*)malloc(sizeof(Node));//申请结点的空间 
	node->level = level;//将阶数写入 
	node->keyNum = 0;//关键字个数初始为0 
	node->childNum = 0;//孩子个数初始为0 
	/*level+1是为了后面的插入和删除,方便索引*/
	node->keys = (int*)malloc(sizeof(int)*(level+1));//结点内关键字指针申请空间 
	node->children = (Node**)malloc(sizeof(Node*)*level);//孩子指针申请空间 
	node->parent = NULL;//父结点初始为空 
	int i;
	for(i=0;i<level;i++)
	{/*关键字和孩子指针循环遍历都初始化*/
		node->keys[i] = 0;
		node->children[i] = NULL;
	}
	node->keys[i] = 0;//关键字指针多一个,因此额外初始化 
	return node;//指针函数,返回值为指针 
}

 3.找合适的索引方便插入和删除

int findSuiteIndex(Node *node,int data)
{/*参数一:结点指针
参数二:要查找的元素*/
	int index;//下标 
	for(index=1;index<=node->keyNum;index++)
	{/*从1开始,向后遍历寻找第一个比该元素大的key,返回该key的下标,就是要插入的位置*/
		if(data<node->keys[index])
			break;
	}
	return index;
}

 4.找合适的叶子结点

Node *findSuiteLeafNode(Node *T,int data)
{/*参数一:根节点指针
参数二:要插入的元素*/
	int index;//元素下标 
	if(T->childNum==0)//结点无孩子说明找到了叶子结点 
		return T;
	else
	{
		index = findSuiteIndex(T,data);//寻找合适的插入位置 
		return findSuiteLeafNode(T->children[index-1],data);//递归,往左子树走 
	}
}

 5.往结点中插入数据

void addData(Node *node,int data,Node **T)
{/*参数一:结点指针
参数二:要插入的数据
参数三:父结点,由于要改变,因此使用二级指针*/
	int index = findSuiteIndex(node,data);
	int i,mid;
	for(i=node->keyNum;i>=index;i--)
		node->keys[i+1] = node->keys[i];
	node->keys[index] = data;
	node->keyNum += 1;
	//判断是否进行分裂 
	if(node->keyNum==node->level)
	{//找到分裂的位置 
		mid = node->level/2+node->level%2;
		//分裂 
		Node *lchild = initNode(node->level);//初始化左孩子结点 
		Node *rchild = initNode(node->level);//初始化右孩子结点
		//将mid左边的值赋值给左孩子 
		for(i=1;i<mid;i++)
			addData(lchild,node->keys[i],T);
		//将mid右边的值赋值给右孩子 
		for(i=mid+1;i<=node->keyNum;i++)
			addData(rchild,node->keys[i],T);
		//将原先结点mid左边的孩子赋值给分裂出来的左孩子 
		for(i=0;i<mid;i++)
		{
			lchild->children[i] = node->children[i];
			if(node->children[i]!=NULL)
			{
				node->children[i]->parent = lchild;
				lchild->childNum++;
			}
		}
		//将原先结点mid右边的孩子赋值给分裂出来的右孩子 
		int index = 0;
		for(i=mid;i<node->childNum;i++)
		{
			rchild->children[index++] = node->children[i];
			if(node->children[i]!=NULL)
			{
				node->children[i]->parent = rchild;
				rchild->childNum++;
			}
		}
		//判断当前结点是不是根结点 
		if(node->parent==NULL)
		{//是根结点 
			Node *newParent = initNode(node->level);
			addData(newParent,node->keys[mid],T);
			newParent->children[0] = lchild;
			newParent->children[1] = rchild;
			newParent->childNum = 2;
			lchild->parent = newParent;
			rchild->parent = newParent;
			*T = newParent;
		}
		else
		{//不是根结点 
			index = findSuiteIndex(node->parent,node->keys[mid]);
			lchild->parent = node->parent;
			rchild->parent = node->parent;
			node->parent->children[index-1] = lchild;
			if(node->parent->children[index]!=NULL)
			{
				for(i=node->parent->childNum-1;i>=index;i--)
					node->parent->children[i+1] = node->parent->children[i];
			}
			node->parent->children[index] = rchild;
			node->parent->childNum++;
			addData(node->parent,node->keys[mid],T);
		}
	}
}

 6.插入结点

void insert(Node** T, int data) 
{/*参数一:父结点
参数二:要插入的数据*/
    Node* node = findSuiteLeafNode(*T, data);//先找到适合插入的叶子结点 
    addData(node, data, T);//执行插入数据函数 
}

 7.遍历输出

void printTree(Node* T) 
{/*参数:根结点*/
	int i;
    if (T != NULL) {
        for (i  = 1; i <= T -> keyNum; i++)//按序遍历结点内的关键字 
            printf("%d ", T -> keys[i]);
        printf("\n");

        for (i = 0; i < T -> childNum; i++)//按序遍历孩子结点 
            printTree(T -> children[i]);//递归遍历 
    }
}

 8.主函数

int main()
{
	int i;
	Node *T = initNode(5);//初始化 
	for(i=1;i<=10;i++)
		insert(&T,i);//插入 
	printTree(T);//遍历打印 
	return 0;
}

 完整代码:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef struct Node
{
	int level;//阶数 
	int keyNum;//关键数的数量
	int childNum;//孩子的数量
	int *keys;//关键字指针数组
	struct Node **children;//孩子数组
	struct Node *parent;//父亲指针 
}Node;
/*初始化结点*/
Node *initNode(int level)
{/*参数:树的阶数*/
	Node *node = (Node*)malloc(sizeof(Node));//申请结点的空间 
	node->level = level;//将阶数写入 
	node->keyNum = 0;//关键字个数初始为0 
	node->childNum = 0;//孩子个数初始为0 
	/*level+1是为了后面的插入和删除,方便索引*/
	node->keys = (int*)malloc(sizeof(int)*(level+1));//结点内关键字指针申请空间 
	node->children = (Node**)malloc(sizeof(Node*)*level);//孩子指针申请空间 
	node->parent = NULL;//父结点初始为空 
	int i;
	for(i=0;i<level;i++)
	{/*关键字和孩子指针循环遍历都初始化*/
		node->keys[i] = 0;
		node->children[i] = NULL;
	}
	node->keys[i] = 0;//关键字指针多一个,因此额外初始化 
	return node;//指针函数,返回值为指针 
}
/*找合适的索引方便插入和删除*/
int findSuiteIndex(Node *node,int data)
{/*参数一:结点指针
参数二:要查找的元素*/
	int index;//下标 
	for(index=1;index<=node->keyNum;index++)
	{/*从1开始,向后遍历寻找第一个比该元素大的key,返回该key的下标,就是要插入的位置*/
		if(data<node->keys[index])
			break;
	}
	return index;
}
/*找合适的叶子结点*/
Node *findSuiteLeafNode(Node *T,int data)
{/*参数一:根节点指针
参数二:要插入的元素*/
	int index;//元素下标 
	if(T->childNum==0)//结点无孩子说明找到了叶子结点 
		return T;
	else
	{
		index = findSuiteIndex(T,data);//寻找合适的插入位置 
		return findSuiteLeafNode(T->children[index-1],data);//递归,往左子树走 
	}
}
/*往结点中插入数据*/
void addData(Node *node,int data,Node **T)
{/*参数一:结点指针
参数二:要插入的数据
参数三:父结点,由于要改变,因此使用二级指针*/
	int index = findSuiteIndex(node,data);
	int i,mid;
	for(i=node->keyNum;i>=index;i--)
		node->keys[i+1] = node->keys[i];
	node->keys[index] = data;
	node->keyNum += 1;
	//判断是否进行分裂 
	if(node->keyNum==node->level)
	{//找到分裂的位置 
		mid = node->level/2+node->level%2;
		//分裂 
		Node *lchild = initNode(node->level);//初始化左孩子结点 
		Node *rchild = initNode(node->level);//初始化右孩子结点
		//将mid左边的值赋值给左孩子 
		for(i=1;i<mid;i++)
			addData(lchild,node->keys[i],T);
		//将mid右边的值赋值给右孩子 
		for(i=mid+1;i<=node->keyNum;i++)
			addData(rchild,node->keys[i],T);
		//将原先结点mid左边的孩子赋值给分裂出来的左孩子 
		for(i=0;i<mid;i++)
		{
			lchild->children[i] = node->children[i];
			if(node->children[i]!=NULL)
			{
				node->children[i]->parent = lchild;
				lchild->childNum++;
			}
		}
		//将原先结点mid右边的孩子赋值给分裂出来的右孩子 
		int index = 0;
		for(i=mid;i<node->childNum;i++)
		{
			rchild->children[index++] = node->children[i];
			if(node->children[i]!=NULL)
			{
				node->children[i]->parent = rchild;
				rchild->childNum++;
			}
		}
		//判断当前结点是不是根结点 
		if(node->parent==NULL)
		{//是根结点 
			Node *newParent = initNode(node->level);
			addData(newParent,node->keys[mid],T);
			newParent->children[0] = lchild;
			newParent->children[1] = rchild;
			newParent->childNum = 2;
			lchild->parent = newParent;
			rchild->parent = newParent;
			*T = newParent;
		}
		else
		{//不是根结点 
			index = findSuiteIndex(node->parent,node->keys[mid]);
			lchild->parent = node->parent;
			rchild->parent = node->parent;
			node->parent->children[index-1] = lchild;
			if(node->parent->children[index]!=NULL)
			{
				for(i=node->parent->childNum-1;i>=index;i--)
					node->parent->children[i+1] = node->parent->children[i];
			}
			node->parent->children[index] = rchild;
			node->parent->childNum++;
			addData(node->parent,node->keys[mid],T);
		}
	}
}
/*插入结点*/
void insert(Node** T, int data) 
{/*参数一:父结点
参数二:要插入的数据*/
    Node* node = findSuiteLeafNode(*T, data);//先找到适合插入的叶子结点 
    addData(node, data, T);//执行插入数据函数 
}
/*遍历输出*/
void printTree(Node* T) 
{/*参数:根结点*/
	int i;
    if (T != NULL) {
        for (i  = 1; i <= T -> keyNum; i++)//按序遍历结点内的关键字 
            printf("%d ", T -> keys[i]);
        printf("\n");

        for (i = 0; i < T -> childNum; i++)//按序遍历孩子结点 
            printTree(T -> children[i]);//递归遍历 
    }
} 
int main()
{
	int i;
	Node *T = initNode(5);//初始化 
	for(i=1;i<=10;i++)
		insert(&T,i);//插入 
	printTree(T);//遍历打印 
	return 0;
}

 运行结果:

 

 

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