推导了一下论文哈密尔顿原理的表达，原论文的计算公式是对的，记录一下。
Gravagne I A, Rahn C D, Walker I D. Good vibrations: a vibration damping setpoint controller for continuum robots[C]//Proceedings 2001 ICRA. IEEE International Conference on Robotics and Automation (Cat. No. 01CH37164). IEEE, 2001, 4: 3877-3884.
哈密尔顿原理的公式：
δ ∫ t 0 t 1 ( K E − P E + W e ) d t = 0 \delta\int_{t_0}^{t_1} (KE-PE+W_e)dt=0 δ∫t0t1(KE−PE+We)dt=0
其中 K E KE KE是动能， P E PE PE是势能， W e W_e We是非保守力的功。
如果按照达朗贝尔原理可以把势能 P E PE PE转换为保守力做的功 W c W_c Wc。其中势能 P E PE PE变换为功要加个负号。
− P E = W c -PE=W_c −PE=Wc
这样和非保守力做的功 W e W_e We合并为外力的功 W W W。
W = W c + W e W=W_c+W_e W=Wc+We
δ ∫ t 0 t 1 ( K E + W ) d t = 0 \delta\int_{t_0}^{t_1} (KE+W)dt=0 δ∫t0t1(KE+W)dt=0
其中势能 P E PE PE变换为功要加个负号。
求解的过程使用了变分法，参考了叶敏《分析力学》134页关于连续体在哈密顿动力学的应用的例5-5。
求解过程的思路：
- 要不断分离出变分负号，利用边值条件都为0（等时变分）：
- δ y ( x , t 0 ) = δ y ( x , t 1 ) = 0 \delta{y(x,t_0)}=\delta y(x,t_1)=0 δy(x,t0)=δy(x,t1)=0
- 其导数也是一样的为0。
- 分离的方法是分部积分法，将变分负号的求导阶数不断降低。如
y ˙ ∂ ∂ t ( δ y ) = ∂ ∂ t ( y ˙ δ y ) − y ¨ δ y \dot{y}\frac{\partial}{\partial t}({\delta y})=\frac{\partial}{\partial t}(\dot{y}\delta y)-\ddot{y}\delta y y˙∂t∂(δy)=∂t∂(y˙δy)−y¨δy
