利用栈和队列共同解决迷宫问题

news2024/11/15 4:13:08

文章目录

  • 什么是迷宫问题?
  • 如何解决迷宫问题?
    • DFS(深度优先搜索)
    • BFS(广度优先搜索)
  • 总结

什么是迷宫问题?

迷宫问题是一道经典的算法问题,旨在寻找一条从起点到终点的最短路径。通常迷宫由一个二维矩阵表示,其中0代表可通过的空地,1代表墙壁不可通过。

在此条件下,需要运用数据结构中的图算法如广度优先搜索(BFS)或深度优先搜索(DFS)等找出一条从起点到终点的最短路径。

  • 例如,以下就是一个迷宫:
111111111111111
100010001000001
101110101011001
100000101000101
111110111010101
100000001010101
101111111010101
101000001010001
101111101110101
100010000000101
111110111110101
100000100000101
111110101011101
100000001000001
111111111111111

(其中1表示墙壁不可通过,0表示可以通过的路径。起点为(1,1),终点为(15,15))


如何解决迷宫问题?

DFS(深度优先搜索)

对于深搜的基础知识,可以看我之前的博客:【算法基础】深搜

  • 使用深度优先搜索(DFS)算法来解决迷宫问题。具体思路如下:
  1. 选定起点,建立一个 visited 数组记录每个点是否已经遍历过。
  2. 对于起点开始向四周探索,如果能够到达未曾遍历的点,则继续向该点前进,直到无法前进或者到达出口。
  3. 在探索的过程中,将每个点的状态更新到visited数组中并标记已经访问。
  4. 如果走到了出口,则找到了一条可行路径;否则回溯到上一个节点分别从其它方向继续探索,直到所有状态被访问。

但是,深搜并不适合解决迷宫问题,甚至有时得到的解是错误的。
在实现时需要注意,DFS 算法虽然容易理解和实现,但是存在回溯次数多、时间复杂度高等缺点。因此,在实际应用中,需要仔细考虑算法的时间复杂度,并选择合适的数据结构和优化手段来提高程序效率。

  • 下面来看一个错误的案例:
    用二维数组来表示迷宫,每个元素表示该位置上的状态(例如墙壁、通道等)。其中,’O’表示可到达点,’X’表示不可到达点,’S’表示起始点,’E’表示终点。

  • 首先,初始数组的文件是这样的:
    在这里插入图片描述

  • 最短路径显然是从S直接到E,一步就可以解决问题,但事实是dfs走了27步。。。
    在这里插入图片描述

因为dfs的代码是这样的:

//ei, ej表示终点坐标,si, sj表示起点坐标,i, j表示现在的坐标 
int dfs(int ei, int ej, int si, int sj, int i, int j){
	int flag = 0;			//标记是否到达终点 
	a[i][j] = '.';			//标记此位置,表示已经访问过 
	if(i == ei && j == ej){
		flag = 1;
		if(cnt <= min_cnt) min_cnt = cnt;
	}
	
	//往右 
	if(flag != 1 && j+1 <= n && (a[i][j+1] == 'O' || a[i][j+1] == 'E')){
		push(s, i, j);
		if(dfs(ei ,ej, si, sj, i, j+1)==1){
			cnt++;
			flag = 1;
		}
	}
	//往下 
	if(flag != 1 && i+1 <= m && (a[i+1][j] == 'O' || a[i+1][j] == 'E')){
		push(s, i, j);
		if(dfs(ei, ej, si, sj, i+1, j) == 1){
			cnt++;
			flag = 1;
		}
	}
	//往左 
	if(flag != 1 && j-1 > 0 && (a[i][j-1] == 'O' || a[i][j-1] == 'E')){
		push(s, i, j);
		if(dfs(ei, ej, si, sj, i, j-1) == 1){
			cnt++;
			flag = 1;
		}
	}
	//往上
	if(flag != 1 && i-1 > 0 && (a[i-1][j] == 'O' || a[i-1][j] == 'E')){
		push(s, i, j);
		if(dfs(ei, ej, si, sj, i-1, j) == 1){
			cnt++;
			flag = 1;
		}
	} 
	
	
	if(flag != 1){
		a[i][j] == 'O';
		pop(s);
		cnt--;
	}
	return flag;
}

并没有找到最短路径,而是按照程序既定的顺序寻找终点。当然,我们也可以完善以下程序使寻路变得更加只能,但是这样写出来代码过于复杂。

BFS(广度优先搜索)

与BFS不同,BFS 算法的基本思路是从起点开始进行多层级别的搜索,逐渐向外扩展,直到找到终点或者所有状态被访问为止。

  • 具体步骤如下:
  1. 选定起点,以其为根节点建立一个 BFS 树,将其压入队列中。
  2. 对于每个节点,枚举所有可走的方向,生成该节点的子节点,并将其加入队列尾部。
  3. 在生成子节点时需要判断是否合法,如果不合法则忽略。这里建议使用 visited 数组记录每个点是否已经遍历过,以免出现死循环。
  4. 每次从队列头部取出一个节点并访问直到队列为空或找到终点
  5. 最终,如果想要打印出从起点到终点的路径,需要用到和BFS相配合。
  • 实现链栈的基本操作:栈在本实验中用于记录解决迷宫的路径,要实现基本的初始化、入栈、出栈和判空等操作。
  • 实现链式队列的基本操作:bfs算法借助队列实现迷宫路径的查找,所以要实现基本的初始化、入队、出队等操作。

BFS 算法不需要使用递归函数,因此比起 DFS 更容易实现和调试,并且可以找到最短路线。但是其空间复杂度较高,因此在实际应用中需要注意算法效率和内存占用情况。
其次,BFS算法是同时向外扩展多个路径,每一次扩展时,每一条路径都是相同的步数,所以首先到达终点的那条路径一定是步数最少的,也就是最短路径。

同样使用上面的迷宫表示方法,我们来看一下BFS的代码和性能:

// bfs算法,求出从起点到终点的最短路径,并输出路径中每一个点的坐标
int bfs(Point start, Point end) {
    Queue queue;
    initQueue(&queue);

    enQueue(&queue, start);
    vis[start.x][start.y] = 1;
	
	//bfs 
    while (queue.front != NULL) {
        Point current = deQueue(&queue);
		
		//已经到达终点 
        if (isEndPoint(maze, current)) {
            showPath(current, start, end);
            return 1;
        }

        // 上下左右四个方向搜索可达点
        Point up = {current.x - 1, current.y};
        Point down = {current.x + 1, current.y};
        Point left = {current.x, current.y - 1};
        Point right = {current.x, current.y + 1};
		
		//向上 
        if (up.x > 0 && isAccessible(maze, up) && !vis[up.x][up.y]) {
            enQueue(&queue, up);
            vis[up.x][up.y] = current.x * MAX_LEN + current.y;
        }
		//向下 
        if (down.x <= m && isAccessible(maze, down) && !vis[down.x][down.y]) {
            enQueue(&queue, down);
            vis[down.x][down.y] = current.x * MAX_LEN + current.y;
        }
		//向左 
        if (left.y > 0 && isAccessible(maze, left) && !vis[left.x][left.y]) {
            enQueue(&queue, left);
            vis[left.x][left.y] = current.x * MAX_LEN + current.y;
        }
		//向右 
        if (right.y <= n && isAccessible(maze, right) && !vis[right.x][right.y]) {
            enQueue(&queue, right);
            vis[right.x][right.y] = current.x * MAX_LEN + current.y;
        }
    }    
	
    printf("Error: no path found!\n");
    return 0;
}

具体代码可以从这里下载:

初始迷宫是这样的:
在这里插入图片描述
可以找到最短路径并输出:
在这里插入图片描述
如果需要以上的全部代码可以看本博客上传的代码包。


总结

迷宫问题是求解从起点到终点的路径,使得路径能够遍历迷宫所有有效格子的问题。这个问题在计算机科学中被广泛研究,有很多种算法可以解决。

  • 在深度优先搜索(DFS)算法中,我们需要递归地向前探索,直到找到终点或无法继续前进为止。DFS 算法比较容易实现,但是可能会导致出现死循环和非最优解。

  • 广度优先搜索(BFS)算法则采用分层扩展的方式,从起点开始进行多层级别的搜索,逐渐向外扩展,直到找到终点或者所有状态被访问为止。BFS 算法能够找到最短路径,并且不会出现死循环的情况,但是空间复杂度比 DFS 更高。

另外,A* 算法是一种启发式搜索算法,也可以很好的解决迷宫问题。它是基于估价函数对每个节点的代价进行评估,并根据代价来选择下一个扩展的节点。使用 A* 算法可以更快地找到最短路径,但是需要设计合适的估价函数。

除此之外,还有其他一些算法,如Dijkstra算法、IDA*算法等,均有自己的特点和应用场景。

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