【高数+复变函数】傅里叶变换的性质

上一节：【高数+复变函数】傅里叶变换

回顾：在上一节傅里叶变换中，最重要的是傅里叶变换的概念：
$$\begin{gathered} 傅里叶变换：F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t){\mathrm{e}}^{-j\omega t}\mathrm{d}t，记为F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)] \\ 傅里叶逆变换：f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega ){\mathrm{e}}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega ，记为f(t)={\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )] \end{gathered}$$
以及单位脉冲函数的定义及性质：
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)f(t)\mathrm{d}t=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }_{\epsilon }(t)f(t)\mathrm{d}t \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-t_0\right)f(t)\mathrm{d}t=f(t_0) \end{gathered}$$
基于对上述知识的掌握，这一节我们学习傅里叶变换的常见性质及卷积运算。

一、常见性质

1.1 线性性质

$$\begin{gathered} \mathcal{F}[\begin{array}{c}\alpha f_1(ı)+\beta f_2(ı)\end{array}]=\alpha F_1(\omega )+\beta F_2(\omega ) \\ {\mathcal{F}}^{-1}[\alpha F_1(\omega )+\beta F_2(\omega )]=\alpha f_1(ı)+\beta f_2(ı). \end{gathered}$$

直接把线性式代入定义即可推出

1.2 位移性质

$$F[f(t\pm t_0)]=e^{\pm j\omega t_0}F(\omega )$$

它表明时间函数$f(t)$沿$t$轴左右位移（左加右减）$t_0$个单位时的傅里叶变换等于$f(t)$的傅里叶变换乘以因子$e^{\pm i\omega t_0}$

做个变量代换证明：
$$\begin{gathered} F[f(t\pm t_0)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t\pm t_0){\mathrm{e}}^{-j\omega t}\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(u){\mathrm{e}}^{-j\omega (u\mp t_0)}\mathrm{d}u（令u=t+t_0) \\ ={\mathrm{e}}^{\pm j\omega t_0}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(u){\mathrm{e}}^{-j\omega u}\mathrm{d}u=e^{\pm j\omega t_0}F(\omega ) \end{gathered}$$

例如：

已知钟形脉冲函数的傅里叶变换：$\mathcal{F}\left[{\mathrm{e}}^{-\beta t^2}\right]=\sqrt{\frac{\pi }{\beta }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{\omega }^2}{4\beta }}.$则$\mathcal{F}\left[e^{-\beta (t-t_0{)}^2}\right]=\sqrt{\frac{\pi }{\beta }}{e}^{-(j\omega t_0+\frac{{\omega }^2}{4\beta })}.$

1.3 微分性质

如果$f(t)$在$(-\infty ,+\infty )$上连续或只有有限个可去间断点,且当$\mid t\mid \to +\infty$时,$f(t)\to 0$则:
$$\mathcal{F}[f^{\prime }(t)]=\text{j}\omega \mathcal{F}[f(t)].$$

代入定义式后用分部积分的性质即可证明，前述条件不可缺。

推论：若$f^{(k)}(t)$在$(-\infty ,+\infty )$上连续或只有有限个可去间断点,且当$\mid t\mid \to +\infty$时,$f^{(k)}(t)\to 0$则:
$$\mathcal{F}[f^{(n)}(t)]=(j\omega {)}^n\mathcal{F}[f(t)]$$
同样，设：$\mathcal{F}[f(t)]=F(\omega )$,则
$$\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{\omega }^n}F(\omega )=(-\mathrm{j}{)}^n\mathcal{F}\left[t^{n}f(t)\right]$$

直接对$F(w)$的展开式求导即可证明。

在实际中, 常常用象函数的导数公式来计算 $\mathcal{F}\left[t^{n}f(t)\right]$.

1.4 积分性质

如果当 $t\to +\infty$ 时, $g(t)={\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t\to 0$, 那么
$$\mathcal{F}\left[{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t\right]=\frac{1}{\mathrm{j}\omega }\mathcal{F}[f(t)]$$

证明：利用$\mathcal{F}\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t\right]$来过渡
$$\mathcal{F}[f(t)]=\mathcal{F}\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t\right]=\mathcal{F}\left[j\omega {\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t\right]$$
所以$\mathcal{F}\left[{\int }_{-\infty }^{t}f(t)\mathrm{d}t\right]=\frac{1}{\mathrm{j}\omega }\mathcal{F}[f(t)]$

另：当 ${\lim }_{t\to +\infty }g(t)\ne 0$ 时, 结果有变化，会在学完卷积之后讲

1.5 乘积定理

$\begin{array}{rl}\text{ 若 }{F}_1(\omega )=& \mathcal{F}\left[f_1(t)\right],F_2(\omega )=\mathcal{F}\left[f_2(t)\right]\text{, 则 }\\ & {\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{f_1(t)}{f}_2(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{F_1(\omega )}{F}_2(\omega )\mathrm{d}\omega ,\\ & {\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(t)\overline{f_2(t)}\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1(\omega )\overline{F_2(\omega )}\mathrm{d}\omega ,\end{array}$

证明过程涉及到交换内外积分顺序：
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{f_1(t)}{f}_2(t)\mathrm{d}t& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{f_1(t)}\left[\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_2(\omega ){\mathrm{e}}^{i\omega t}\mathrm{d}\omega \right]\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_2(\omega )\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{f_1(t)}{\mathrm{e}}^{i\omega t}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_2(\omega )\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{f_1(t){\mathrm{e}}^{-i\omega t}}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_2(\omega )\overline{F_1(\omega )}\mathrm{d}\omega \end{array}$$

1.6 能量积分

设 $F(\omega )=F[f(t)]$

则：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }[f(t){]}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|F(\omega ){|}^2\mathrm{d}\omega$$

乘积定理中两式相同即2得

二、卷积

设函数 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 都是 $(-\infty ,+\infty )$ 上的绝对可积函数, 积分
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )\mathrm{d}\tau$$
称为函数 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上的卷积，记为 $\left(f_1\ast f_2\right)(t)$ 或 $f_1(t)\ast f_2(t)$

2.1 卷积运算

1. 交换律 $f_1(t)\ast f_2(t)=f_2(t)\ast f_1(t)$.

   变量代换即可证明

2. 结合律 $\left[f_1(t)\ast f_2(t)\right]\ast f_3(t)=f_1(t)\ast \left[f_2(t)\ast f_3(t)\right]$

3. 分配律 $f_1(t)\ast \left[f_2(t)+f_3(t)\right]=f_1(t)\ast f_2(t)+f_1(t)\ast f_3(t)$

   定义展开即可证明

   后面的四个性质仅做了解

4. 卷积的数乘
   $a\left[f_1(t)\ast f_2(t)\right]=\left[a{f}_1(t)\right]\ast f_2(t)=f_1(t)\ast \left[a{f}_2(t)\right](a$ 为常数);

2. 卷积的微分

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[f_1(t)\ast f_2(t)\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{f}_1(t)\ast f_2(t)=f_1(t)\ast \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{f}_2(t);$$
6. 卷积的积分

$${\int }_{-\infty }^t\left[f_1(\xi )\ast f_2(\xi )\right]\mathrm{d}\xi =f_1(t)\ast {\int }_{-\infty }^t{f}_2(\xi )\mathrm{d}\xi ={\int }_{-\infty }^t{f}_1(\xi )\mathrm{d}\xi \ast f_2(t)$$
7. 对卷积, 还有如下的不等式

$$\left|f_1(t)\ast f_2(t)\right|⩽\left|f_1(t)\right|\ast \left|f_2(t)\right|$$

2.2 运算应用

1. 与单位脉冲函数的卷积
   $$\begin{array}{rl}& f(t)\ast \delta (t)\\ =& {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (t-x)dx\\ =& {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x-t)dx\\ =& f(t)（单位脉冲函数的性质）\end{array}$$

2. 如果 $t<0$ 时, $f_1(t)=0,f_2(t)=0$, 则卷积变为
   $$\begin{array}{rl}f(t)& =\left(f_1\ast f_2\right)(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )\mathrm{d}\tau \\ & ={\int }_{-\infty }^0+{\int }_0^t{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )\mathrm{d}\tau +{\int }_t^{+\infty }={\int }_0^t{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )\mathrm{d}\tau \end{array}$$

例 求函数 $f_1(t)=\{\begin{array}{l}0,t<0\\ t,t>0\end{array}$ 和 $f_2(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ \sin t,& t>0\end{array}$ 的卷积。
解

我们可以用图 1-14(a) 和 (b) 来表示 $f_1(\tau )$ 和 $f_2(t-\tau )$ 的图形, 当 $t<0$ 时, $f_1(\tau )f_2(t-\tau )=0$; 而 $f_1(\tau )f_2(t-\tau )\ne 0$ 的区间从图 $1-14$ 中可以看出, 在 $t⩾0$ 时, 为 $[0,t]$所以
$$\begin{array}{rl}{f}_1(t)\ast f_2(t)& ={\int }_0^t\tau \sin (t-\tau )\mathrm{d}\tau \\ & ={\tau \cos (t-\tau )|}_0^t-{\int }_0^t\cos (t-\tau )\mathrm{d}\tau \\ & =t-\sin t\end{array}$$

2.3 卷积定理

设$F_1(\omega )=F\left[f_1(t)\right],F_2(\omega )=F\left[f_2(t)\right]$，则
$$\mathcal{F}\left[\left(f_1\ast f_2\right)(t)\right]=F_1(\omega )F_2(\omega )$$

证明：

$\begin{array}{rl}\mathcal{F}\left[f_1(t)\ast f_2(t)\right]& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[f_1(t)\ast f_2(t)\right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )\mathrm{d}\tau \right]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega \tau }{f}_2(t-\tau ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega (-\tau )}\mathrm{d}\tau \mathrm{d}t\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega \tau }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_2(t-\tau ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega (t-\tau )}\mathrm{d}(t-\tau )\right]\mathrm{d}\tau \\ & =F_1(\omega )\cdot F_2(\omega )\end{array}$

对称也有（不证明）：
$$\mathcal{F}\left[f_1(t)\cdot f_2(t)\right]=\frac{1}{2\pi }{F}_1(\omega )\ast F_2(\omega ),$$
推广：
$$\begin{array}{c}\mathcal{F}\left[f_1(t)\ast f_2(t)\ast \cdots \ast f_n(t)\right]=F_1(\omega )\cdot F_2(\omega )\cdot \cdots \cdot F_n(\omega ),\\ \mathcal{F}\left[f_1(t)\cdot f_2(t)\cdot \cdots \cdot f_n(t)\right]=\frac{1}{(2\pi {)}^{n-1}}{F}_1(\omega )\ast F_2(\omega )\ast \cdots \ast F_n(\omega ).\end{array}$$

三、相关函数

对于两个不同的函数 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$, 称积分
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(t)f_2(t+\tau )\mathrm{d}t$$
为两个函数 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 的互相关函数, 用记号 $R_{12}(\tau )$ 表示，而积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(t+\tau )f_2(t)\mathrm{d}t$记为 $R_{21}(\tau )$

当 $f_1(t)=f_2(t)=f(t)$ 时, 称积分
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)f(t+\tau )\mathrm{d}t$$
为函数 $f(t)$ 的自相关函数 (简称相关函数). 用记号 $R(\tau )$ 表示。

性质：

• $R(-\tau )=R(\tau )$.

  定义和变量代换来证明

• $R_{21}(\tau )=R_{12}(-\tau )$