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第六章 图

小题考频：33
大题考频：11

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6.1 图的基本概念

难度：☆☆☆☆

知识总览

6.1.1 图的基本概念

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6.1.1 图的基本概念

图的定义

A、B、C……这些元素的集合就是顶点集V，图G中顶点个数也成为图G的阶；
连接各个顶点的边的集合就是边集E

注意。图里面的一条边，连接的u,v两个顶点必须是刚才给出的顶点集中的顶点，边的两头必须连着顶点。

一个图的顶点集不可以为空，边集可以为空

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图逻辑结构的应用

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无向图、有向图

无向边，简称边；有向边，简称弧。

无向边(v,w)=(w,v)这两种表述方式是等价的；
有向边<v,w>≠<w,v>是不等价的，方向刚好相反。
有向边<v,w>，v称为弧尾，w称为弧头，弧尾是没有箭头的这一边，弧头是有箭头的这一边

用集合的方式表示左边的无向图：

此处用圆括号表示一条边
 
用集合的方式表示右边的有向图：

此处用尖括号表示弧，如果弧的两个元素位置互换，表示两个相反的弧

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简单图、多重图

简单图：不存重复边和顶点连向自身的边
数据结构教程中默认探讨“简单图”

因为绝大多数问题都可以用简单图来解决：

思考，如何描述社交达人、微博大V、吃瓜指数呢？

研究连接一个结点的边有多少条是一个有现实意义的事情。

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顶点的度、入度、出度

无向图：
顶点v的度：依附于顶点v的边的条数
 
有向图：
入度：以v为终点的有向边的条数
出度：以v为起点的有向边的条数
顶点v的度：入度和出度之和

无向图：
全部顶点度之和=边数2倍
 
有向图：
入度之和=出度之和=弧的条数

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顶点-顶点的关系描述

路径：两个顶点之间的路径，指的就是顶点序列。有向图中路径方向要与弧的方向一致。
回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。
简单路径：路径序列中，顶点不重复出现。
简单回路：除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现。
路径长度：路径上边的数目
点到点的距离：最短路径称为距离，若不存在路径，记距离为无穷（∞）。

无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的
有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径（有正向也有逆向），则称这两个顶点是强连通的

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连通图、强连通图

对于n个顶点的无向图G，
若G是连通图，则最少有$n-1$条边
若G是非连通图，则最多可能有$C_{n-1}^2$条边，如果多加一条边，该图就会变为连通图。

对于n个顶点的有向图G，
若G是强连通图，则最少有n条边（形成回路）

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研究图的局部——子图

子图首先是一个图
生成子图：包含子图中所有顶点的子图

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连通分量

无向图中的极大连通子图称为连通分量。
连通：每一个连通分量都是原图的一个子图，并且这些子图都是连通的。
极大：子图中包含尽可能多的顶点和尽可能多的边

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强连通分量

有向图中的极大强连通子图称为强连通分量。
连通：每一个强连通分量都是原图的一个子图，并且这些子图都是强连通的。
极大：子图中包含尽可能多的顶点和尽可能多的边

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生成树

生成树：无向图中包含全部顶点的一个极小连通子图，边尽可能地少。
顶点树为n

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生成森林

将非连通图生成连通分量

将连通分量生成对应的生成树

生成树的应用：修路，给多种方案选最好的。

哪个最好？看每条路的成本……

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边的权、带权图/网

边的权：在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值。
带权图/网：边上带有权值的图称为带权图，也称网。

带权路径长度：当图是带权图时，一条路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度

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带权图的应用举例

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几种特殊形态的图

无向完全图：无向图中任意两个顶点之间都存在边
若无向图的顶点数|V|=n，则 |E| ∈ [ $0,C_n^2$ ] = [ 0, n(n–1)/2 ]

有向完全图：有向图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧
若有向图的顶点数|V|=n，则|E| ∈ [$0,2C_n^2$ = [ 0, n(n–1) ]

一般来说|E| < |V|log|V|时，可以将G视为稀疏图

树：不存在回路，且连通的无向图
若|E|>n-1，则一定有回路

有向树：一个顶点的入度为0（根结点）、其余顶点的入度均为1的有向图 ，称为有向树。

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知识回顾与重要考点

6.1.1 图的基本概念

常见考点：
对于n个顶点的无向图G，

• 所有顶点的度之和=2|E|
• 若G是连通图，则最少有n-1条边（树），
  若|E|>n-1，则一定有回路
• 若G是非连通图，则最多可能有$C_{n-1}^2$条边
• 无向完全图共有$C_n^2$条边

对于n个顶点的有向图G，

• 所有顶点的出度之和=入度之和=|E|
• 所有顶点的度之和=2|E|
• 若G是强连通图，则最少有n条边（形成回路）
• 有向完全图共有条$2C_n^2$边