【基础算法】大数运算问题

news2025/1/12 0:51:07

🌹作者:云小逸
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🤟motto:要敢于一个人默默的面对自己，强大自己才是核心。不要等到什么都没有了，才下定决心去做。种一颗树，最好的时间是十年前，其次就是现在！学会自己和解，与过去和解，努力爱自己。==希望春天来之前，我们一起面朝大海，春暖花开！==🤟
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文章目录

前言
- AcWing 3482. 大数运算
- 题目描述
- 输入格式
- 输出格式
- 数据范围
- 输入样例
- 输出样例
- 题解
- C++代码
- 解题思想：
- 需要注意：由于两个高精度数的乘积有可能超出该类型能够表示的最大范围，所以在计算过程中可能无法存储完整结果，而需要进行分段计算。具体来说，我们可以先将a数组中的每一位分别与b数组中的每一位相乘，然后将所有这些积按位相加，并且在该位处存储进位的值。在最后输出答案时，我们需要忽略掉所有前缀0，只输出第一个非零数及其后面的数字。
最后

前言

今天我们继续学习算法，加油。这篇文章写的是大数运算问题。希望这篇可以有幸帮助到你，码字不易，请多多支持。
在这里插入图片描述

AcWing 3482. 大数运算

题目描述

给定两个整数a和b，计算它们的和、差、积。

输入格式

共两行，每行包含一个整数。

输出格式

共三行，分别输出它们的和、差、积。

注意：在输出结果时，不能有多余的前导零。

数据范围

输入数的绝对值不超过 $10^{400}$ ，且保证存在结果。

输入样例

20000000000000000
4000000000000000

输出样例

24000000000000000
16000000000000000
80000000000000000000000000000000

题解

本题主要考察高精度运算。具体来说，需要实现高精度加减乘法3个算法。

时间复杂度

高精度加法、减法、乘法的时间复杂度均为 $O (n)$ 。

空间复杂度

本算法空间复杂度为 $O (n)$ 。

C++代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>

using namespace std;

const int N = 1e6+10;
int a[N], b[N], c[N];
vector<int> mul[N];

void add(int a[], int b[], int c[])
{
    int t = 0;
    for(int i = 0; a[i] != -1 || b[i] != -1; i++) 
    {
        if(a[i] != -1) t += a[i];
        if(b[i] != -1) t += b[i];
        c[i] = t % 10; // 当前位的值
        t /= 10; // 进位
    }
    if(t > 0) c[strlen(a)] = t; // 最高位进位
    else c[strlen(a)] = -1; // 标记末尾，避免后续运算错误
}

void sub(int a[], int b[], int c[])
{
    int t = 0;
    for(int i = 0; a[i] != -1 || b[i] != -1; i++)
    {
        if(a[i] != -1) t += a[i];
        if(b[i] != -1) t -= b[i];
        if(t < 0) c[i] = t + 10, t = -1; //当前位需要借位
        else c[i] = t, t = 0; // 当前位不需要借位
    }

    while(c[strlen(a)-1] == 0 && strlen(a) > 1)
        --c[strlen(a)-1];
    c[strlen(a)] = -1;
}

void mul(int a[], int b[], vector<int> &res)
{
    res.clear();

    if(a[0] == 0 || b[0] == 0)
    {
        res.push_back(0);
        return ;
    }

    for(int i = 0; b[i] != -1; i++)
    {
        int t = 0;
        for(int j = 0; a[j] != -1; j++)
        {
            t += a[j] * b[i];
            if(i == 0) mul[i].push_back(t % 10); // 将第一次求乘积的结果缓存起来
            else mul[i][j+i] += t % 10; // 在上一次基础上进行累加
            t /= 10;
        }
        if(t > 0) mul[i].push_back(t); // 存储最高位的进位
    }

    int t = 0;
    for(int i = 0; ; i++)
    {
        bool flag = true;
        for(int j = 0; j < b[strlen(b)-1]-'0'; j++)
            if(mul[j][i] != 0)
                flag = false;

        if(flag) break;

        for(int j = 0; j < b[strlen(b)-1]-'0'; j++)
            if(mul[j][i] != -1)
                t += mul[j][i];
        res.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while(t != 0)
    {
        res.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
}

int main()
{
    string str;
    cin >> str;
    memset(a, -1, sizeof a), memset(b, -1, sizeof b), memset(c, -1, sizeof c);

    for(int i = 0; i < str.size(); i++) a[str.size()-i-1] = str[i]-'0';
    cin >> str;
    for(int i = 0; i < str.size(); i++) b[str.size()-i-1] = str[i]-'0';

    add(a, b, c);
    for(int i = strlen(c)-1; i >= 0; i--) cout << c[i];
    cout << endl;

    sub(a, b, c);
    for(int i = strlen(c)-1; i >= 0; i--) cout << c[i];
    cout << endl;

    mul(a, b, mul[0]);
    for(int i = mul[0].size()-1; i >= 0; i--) cout << mul[0][i];
    cout << endl;

    return 0;
}