GDKOI 2023游记总结

~~不知觉就咕了1.5个月~~

在回忆 2021 年那个刚步入初中的懵懂孩童参加 GDOI 的惊喜中感慨初中时光的飞逝。

2021 GDOI 普及组游记

Day - $\infty$

去年因为疫情取消了，今年难得重新举办，珍惜每一次机会吧。
前年的地点订在深圳耀华学校，忘不了住在那所学校睡不着觉，忘不了半夜12点的灯火通明，忘不了晚上8点在车流涌动的大街上漫无目的地游荡…

我发现自己越来越常用所谓“一眨眼”“弹指一挥间”这样的俗气的词汇了。但时光确是匆匆地流走了，翻翻初一写 GDKOI 的那稚嫩的文字，感慨光阴飞逝带来的忧愁滋味。我渴求心灵的成长，便也需承受物是人非的伤痛了。不写太多了，到 GDKOI 后在总结吧。

Day -5

打 THUPC，成功切3T，前两天把具体的都在这儿写了：

Link

还，蛮开心的，毕竟去年 1 题没切被乱杀。

Day -3

其实这篇文章是从今天开始写的…
今天周二，还没准备好心情，大家都还没什么感觉，就当做平时冬令营停课一样，打模拟赛。

这场题
140 ~~QAQ~~

T1：一道期望 dp ，设两个人分别为 $a, b$ ，总分分别为 $S_a,S_b$ ，根据题意分别有4种情况，那么共16种情况，考虑其中一种情况，若 $S_a>S_b$ ，那么 $a$ 会对 $b$ 的排名产生 1 的贡献，而出现这种情况的可能性为 $\frac{1}{16}$ ，因此对于每一个 $S_a>S_b$ ， $a$ 都会对 $b$ 产生 $\frac{1}{16}$ 的贡献，于是 $i$ 的期望排名为 $1+\frac{1}{16}\times(S_j>S_i的情况数)$ 。

T2：以前遇到过类似的题，但没有想起来。可以考虑将题目倒序做，就变成了角谷猜想，还是一道比较精妙的题目。那么对于负数的情况，取到距离 1 号宇宙最近的位置后，用题目给定的第一种跳法跳到正数即可。

T3：拆式子后用树链剖分+线段树维护，还没补，咕了。

T4：dp + 李超线段树优化，也咕了。

非官方题解

Day -2

叒叕模拟赛。题目

不知道干啥，补了前三题，T3的 LIS + 组合数学不会忘记。做法是用字符串模拟占位求出所有情况，然后用类状压求答案。

~~代码长但不丑。~~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=120005;
int n,m,k,M,tot,sum,a[105];
map<string,int> vis;
vector<string> ans;
string s;
inline int Rd(){
    int s=0,w=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return s*w;
}
LL c[520][520],fac[520];
void GetC(){
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=515;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%M;
    for(int i=0;i<=515;i++) c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=515;i++) for(int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%M;
    return ;
}
void LIS(string s,int l){ //find out all situations
    if(vis[s]) return ;
    vis[s]=1;
    ans.push_back(s);
    tot++;
    if(l==n) return ;
    for(int i=0;i<n;i++) if(s[i]=='0'){
        string t=s;
        char c='0';
        for(int j=0;j<i;j++) c=max(c,s[j]);
        t[i]=c+1;LIS(t,l+1);
    }
    return ;
}
string S[N];
map<string,int> Ad;
LL cnt[N];
void in(){
    // printf("%lld\n",tot);
    for(int i=0;i<tot;i++){
        char c='0';
        s=ans[i];
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(s[j]=='0') s[j]=c+1,c++;
            else c=max(c,s[j]);
        }
        c='0';
        for(int j=0;j<n;j++) c=max(c,s[j]);
        if(c>=k+'0') S[++sum]=ans[i],Ad[ans[i]]=sum;
    }
    for(int i=1;i<=sum;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            if(S[i][j]!='0')
                cnt[i]|=(1<<j);
    // for(int i=1;i<=sum;i++) printf("%lld ",cnt[i]);puts("");
    return ;
}
LL dp[17][N];
string nw,nt;
void modify(string &s,int ad){
    char c='0';
    for(int i=0;i<ad;i++) c=max(c,s[i]);
    s[ad]=c+1;
    return ;
}
void work(){
    // puts("");
    dp[0][1]=1;
    for(int i=0;i<m;i++){
        for(int j=1;j<=sum;j++){
            if(dp[i][j]){
                (dp[i+1][j]+=dp[i][j])%=M;
                nw=S[j];
                for(int k=0;k<n;k++){ //try to put i-th person to k-th address
                    if(nw[k]=='0'&&a[i]>=(cnt[j]+(1<<k)+1)){
                        nt=nw;
                        modify(nt,k);
                        (dp[i+1][Ad[nt]]+=dp[i][j]*c[a[i]-cnt[j]-2][(1<<k)-1]%M*fac[1<<k])%=M;
                    }
                }
                // printf("%lld\n",dp[i][j]);
            }
        }
    }
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=sum;i++) if(cnt[i]==(1<<n)-1) (ans+=dp[m][i])%=M;
    printf("%lld",(1ll<<n)%M*ans%M);
    return ;
}
int main(){
    n=Rd();m=Rd();k=Rd();M=Rd();
    for(int i=0;i<m;i++) a[i]=Rd();
    sort(a,a+m);
    for(int i=0;i<n;i++) s+='0';
    GetC();
    LIS(s,0);
    in();
    work();
    // for(int i=1;i<=500;i++) for(int j=1;j<=i;j++) printf("%d ",c[i][j]);
    return 0;
}