目录

一、数的类型

二.数值的相互转换

三.机器数的表示

四.机器数的运算--补码加减法

五.运算结果溢出的判断。

六.数据的编码

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一、数的类型

1.十进制（Decimal）

  基数为10，用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码表示数值，采用逢10进一，位置在第i位的权值为10^i，基数为10，用字母D表示，经常省略不写。

序位：从挨着小数点0开始数（第几位）

权值：位置在第i位的权值为10i

2.二进制（Binary）

  在计算机内部，任何数据都用0和1表示。“0”代表低电平，“1”代表高电平。  二进制表示法中基数为2，只用0、1两个数码来表示数值，逢二进一，位置在第i位的权值为2𝑖，用字母B表示。

3.八进制（Octal）

  八进制表示法中基数为8，采用0、1、2、3、4、5、6、7八个数字，逢八进一，位置在第i位的权值为8^i，用字母o表示。

4.十六进制（Hexadecimal）

  十六进制表示法中基数为16 = 2^4，用数字0-9和字母A、B、C、D、E、F（对应十进制数的10-15）来表示，逢十六进一，位置在第i位的权值为16^i，用字母H表示。

  有十六个数码：0~9，A（1010），B（1011）,C（1100）,D（1101）,E（1110）,F（1111）

 

二.数值的相互转换

1.非十进制数 --> 十进制数 规则

  熟悉各整数和小数次方，多项式展开求和

（1）二进制 --> 十进制数

  二进制数转换为十进制数，将二进制数按“权”展开相加即可。

例如：1011.01B

    = 1*2^3  +  0*2^2  +  1*2^1  +  1*2^0  +  0*2^-1  +  1*2^-2

    = 8  +  0  +  2  +  1  +  0  +  0.25

    = 11.25D

 

（2）八进制 --> 十进制数

 

（3）十六进制 --> 十进制数

 

2.十进制数 --> 非十进制数

 十进制数转换为非十进制，要把整数部分和小数部分分别进行转换，然后再把转换结果进行相加。

  整数转换采用除基数取余法：用基数不断地去除要转换的数，直到商为0，再将每一步所得的余数，按逆序排列，便为转换结果。（除进制数取余数，倒序输出）

  小数转换采用用基数取整法：每次用基数与小数部分相乘，取乘积的整数部分，再取其小数部分乘2直到小数部分为0。将所取整数顺序放在小数点后即为转换结果。（乘进制数取整，顺序输出）

说明：有些十进制小数不能精确转换为二进制小数，即乘积的小数部分永远不能为0，此时应根据精度要求，转换到所需位数即可。

（1）十进制数 --> 二进制数

  整数部分：除2（基数）取余

  小数部分：乘2（基数）取整

 

（2）十进制数 --> 八进制数

 整数部分：除8（基数）取余

 小数部分：乘8（基数）取整

例如：

796（10） = 1434（8）

 

（3）十进制数 --> 十六进制数

 整数部分：除16（基数）取余

 小数部分：乘16（基数）取整

例如：796（10） = 31（16）

 

小结：十进制 --> 非十进制数

  以上几种进制的整数部分转换原理都是除进制数取余数，倒序输出。小数部分转换原理都是乘进制数取整数部分，再将整数部分顺序输出。

3.二进制 <--> 其他进制

  由于二进制的基数是2，而八进制的基数是8=2^3，一位八进制数字正好可以对应3位二进制数字；十六进制的基数为16=2^4，即一位十六进制数字正好对应4位二进制数字，因此他们之间的转换非常简便。

（1）二进制  <-->  八进制

每3位二进制数表示1位八进制数。

  二进制到八进制采用“三位化一体”的方法，把要转换的二进制数，从小数点开始向两边分别进行分组。转换为八进制时，向左每三位为一组，向右每三位为一组，向左不是三位的，从左边补0；向右不足三位的， 从右边补0。

 10110.1011（2） = 26.54 （8）

（2）二进制 <-->  十六进制

  二进制到十六进制采用“四位化一体”的方法，把要转换的二进制数，从小数点开始向两边分别进行分组。转换为十六进制时，向左每四位为一组，向右每四位为一组，向左不足四位的，从左边补0；向右不足四位的，从右边补0

   10110.1011（2） = 16.B （16）

 

4.八、十六进制 --> 二进制

  采用“一位化三（四）位的方法：即按顺序写出每位八进制（十六进制）数字所对应的三位（四位）二进制数，所得结果即为对应的二进制数。（最高位的0和小数点最末位的0可以略去）

（1）八进制数转换成二进制

原理：八进制数的一位是二进制数的三位

 例如：将（356.2）8 转换为二进制

写出各位数字对应的三位二进制数，组合成二进制数。

  （365.2）8 = （011 101 110 . 010）2

（2）十六进制数转换成二进制

原理：十六进制数的一位是二进制数的四位

  例如：将十六进制3B6.9H转换为二进制数：

  3B6.9H = 0011 1011 0110.1001B

5.八进制与十六进制之间的转换

  这两者之间的转换可以借助十进制或者二进制完成，可以先将八进制转换成十进制或二进制，再转换成十六进制。通过间接转换来实现。

三.机器数的表示

  在计算机中，只有数码1和0两种不同的状态，对于一个数的正、负号，两种不同的状态，约定正数的符号用“0”表示，负数的符号用“1”表示，将符号位放在数的最左边，即最高位，这种计算机用来表示数的形式叫机器数，而把对应于该机器数的带正负符号的算数值叫真值。

  1.机器数：一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号，正数为0，负数为1

比如：十进制的数+3，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011，如果是-3，就是10000011.那么这里的00000011和10000011就是机器数

  2.真值：因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面有

符号数10000011，其最高位1代表负，其真正数值是-3而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）.所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：00000001的真值为+1，10000001的真值为-1

2.无符号数表示

  整个机器字长的全部二进制位均用来表示数值。

例如在八位机中：

           10110111B = 183D

           11111111B = 255D

如：127转换为二进制为：

假设字长8位：表示： 0111 1111B = 7FH

假设字长16位：表示：0000 0000 0111 1111B = 007FH

3.有符号数表示（负号是1，正号是0）

真值：数值数据的实际值，即带有+、-符号

机器码：用二进制编码表示

机器码的讲解（原反补移）

 常用的编码方案有：原码、补码、反补和移码。假定机器数的位数为n+1位，其中一位符号位，其他n位为数值位。

  运算器，只有加法运算器，没有减法运算器，所以，计算机中的没法直接做减法的，它的减法是通过加法来实现的。

注意：在机器码中（原反补移）中可以不跟B（二进制）

（1）原码表示法

  原码表示法中用最高位表示符号，其中“0”表示正号，“1”表示负号，其他n位表示数值的绝对值，假设机器能处理的位数为8位，即字长为1字节（byte），原码能表示数值的范围是：-127~-0+0~127，共256个。（（+0-0是两个数））

  符号位：0表示正，1表示负

  数值部分：与真值的二进制形式一样

零有两种表示：+0和-0

【+0】原 = 0 0000000 = 00H

【-0】原 = 1 0000000 = 80H

8位定点整数原码的范围是：-127~+127（FFH~7FH）

特点：符号位不是数值的一部分，是人为约定的“0正1负”，所以在运算过程中符号位要单独处理，原码表示法中，数的真值与原码表示间的对应关系简单，相互转换容易，用原码实现乘除的规则简单，缺点是0的编码不唯一，实现加减运算不方便。

如：0001+1001=1010 （1+（-1）=-2）所以原码，虽然直观易懂，易于正值转换。但用来实现加减法的话，运算规则总归是太复杂。于是反码来了。

（2）反码表示法

  我们知道，原码最大的问题就在于一个数加上他的相反数不等于零。

例如：0001+1001=1010 (1+(-1)=-2)

  于是反码的设计思想就是冲着解决这一点，既然一个负数是一个正数的相反数，那我们干脆用一个正数按位取反来表示负数试试。

  正数的反码还是等于原码。负数的反码就是它的原码除符号位，按位取反。是1就变0，是0就变1。假设机器能处理的位数为8位，即字长位1字节（byte），反码能表示数值的范围就为：

-127~-0+0~127，共256个（+0-0是两个数）。

  符号位：0表示正，1表示负。

  数值部分：正数：与原码相同。 负数：将原码的数值位取反。

零有两种表示： + 0 和 -0

【+0】原 = 0 0000 000

【+0】反 = 0 0000 000

【-0】原 = 1 0000 000

【-0】反 = 1 1111 111

【+5】原 = 0 0000 101

【-5】原 = 1 0000 101

【-5】反 = 1 1111 010

8位定点整数反码的范围是： - 127 ~ + 127

【-127】原 = 1 1111 111

【-127】反 = 1 0000 000

  再试着用反码的方式解决一下原码的问题：0001+1110=1111 （1+（-1）= - 0）互为相反数相加等于0，解决。虽然是得到的结果是1111也就是-0。好，我们再试着做一下两个负数相加：1110 + 1100 = 1010（（-3）+（-1） = （-5））看来相反数问题是解决了，但是却让两个负数相加的出错了。

（3）补码表示法

注意：只有补码的符号位参与运算。

    假设机器能处理的位数为8位，即字长为1字节（byte），补码能表示数值范围为：-128~127，共256个。

  正数的补码等于他的原码负数的补码等于反码+1。（这只是一种算补码的方式，多数书对于补码就是这句话）

  符号位：0表示正，1表示负

  数值部分：正数不变；负数是在反码的基础上末位+1。

 

【+0】原 = 00H

【+0】反 = 00H

【+0】补 = 00H

【-0】原 = 80H

【-0】反 = FFH

【-0】补 = 00H

补码的特征：

举例：

【-60】原 = 10111100

【-60】反 = 11000011

【-60】补 = 11000100

小结：在8位机中：【-128】原：没有，【-128】反：没有，【-128】补 = 1000000

补码的特点：

补码表示法可以让符号位作为数值的一部分进行参加运算，从而化减法为加法运算，以简化加法器的逻辑设计。在运算器中，加法器是主要的部件，乘除运算也是以加法器为基础，通过增设一些简单的输入逻辑和移位、判别逻辑来实现的，因此补码的应用最为普遍，部分计算机中都采用补码表示法表示数值数据。

（4）移码表示法

  移码通常用于表示浮点数的阶码（整数）。

对于正数：符号位为“1”，其余位不变

对于负数：

        符号位：1表示正，0表示负。（与前三种相反）

        数值部分：与补码数值部分相同

注意：移码与补码的符号位相反，其他位相同。

      【X】补求【X】移的规则：数值位不变，符号位求反。

移码的特点：

最高位为符号位，但其取值与前三种编码相反：1代表正，0代表负

在移码表示法中，0有唯一的编码：【+0】移 = 【-0】移 = 1000…00.

移码表示法一般用于表示浮点数的阶码（表示指数大小，有正有负），因此对移码一般只进行

加减运算。

四.机器数的运算--补码加减法

  补码加法：

【x+y】补 = 【x】补 + 【y】补

  补码减法：

【x-y】补 = 【x】补 + 【-y】补

 【y】补 --> 【-y】补：

【y】补-->（包含符号位，各位取反末尾加1）==【-y】补

例如：

  x = +1001B（9），y = -0101B（-5），求x+y=？

 【x】补 = 01001

 【y】补 = 11011

 

所以：x + y = +0100B = + 4

正数的原反补码一样

五.运算结果溢出的判断。

1.有符号数溢出概念

 

n+1位有符号数补码的范围是：-2^n ~ +2^n-1

8位有符号数补码的范围是：-128~+127（-2^7 ~ +2^7-1）

2.检测方法

两正数加，得负数，为上溢（大于机器所能表示的最大数）

两负数加，得正数，为下溢（小于机器所能表示的最小数）

六.数据的编码

1.ASCII码

  标准ASCII码也叫基础ASCII码。

  ASCII码使用指定的七位或八位二进制数组合来表示128和256种可能的字符，使用七位二进制数来表示所有的大写和小写字母，数字0到9，标点符号，以及在美式英语种使用的特殊控制字符。（注意：ASCII码与标准ASCII码的位数上的区分，标准ASCII码是七位二进制表示），在电脑中，数字和字母都是用ASCII码来存储的，这就是为什么一个英文字母或半角的数字，标点符号通常占一个字节的原因。

一般用8位来存放一位ASCII码值

用ascii码表示字符需要7位二进制

2.BCD码（Binary coded Decimal）

用4位二进制数表示1位十进制数，这种编码也称为二进制编码表示的十进制数。简称BCD。

非组合（非压缩）BCD码：用一个字节表示一位十进制数

组合（压缩）BCD码：用一个字节表示二位十进制 

 4位二进制数共有2^4 = 16种组合状态，可选取其中10个编码来表示十进制数的0~9十位数字。

表示10进制数0-9的数字