1 前言

1.1 奇异值分解

奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种重要的矩阵分解技术，它可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，分别为左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。SVD 的原理可以描述如下：

对于任意 $m\times n$ 的矩阵 $A$，它的 SVD 分解为：

A = U $\sigma $ $V^T$

其中 A 是待分解的矩阵，U 是一个正交矩阵，$\sigma $ 是一个对角矩阵，$V^T$ 是V 的转置。这个公式表示将 A 分解为三个矩阵的乘积，其中 U 和 $V^T$ 表示矩阵 A 在左右两个方向上的正交基，$\sigma $ 表示每个基向量上的缩放因子，称为奇异值。

优点：

• SVD 可以处理非方阵和稠密矩阵，这是其他矩阵分解方法（如LU分解和QR分解）无法处理的情况。
• SVD 可以有效地进行降维，保留最重要的特征，从而可以在不影响模型性能的情况下减少特征数量。
• SVD 分解得到的三个矩阵可以分别表示原矩阵在行空间、列空间和主对角线方向的信息，有助于对矩阵的性质和特征进行分析。

缺点：

• SVD 运算时间复杂度较高，在处理大型矩阵时需要大量的计算资源。
• SVD 分解后得到的矩阵可能存在精度问题，特别是对于非常接近零的奇异值。
• SVD 分解的结果可能存在多解的情况，这需要根据实际问题和领域知识进行进一步的分析和处理。

1.2 奇异值分解的应用

奇异值分解是一种重要的矩阵分解方法，具有广泛的应用。以下是一些常见的应用场景：

1. 数据降维：SVD 可以对高维数据进行降维处理，减少数据的冗余信息和噪声，提取最重要的特征。这种方法在数据挖掘、机器学习等领域广泛应用。

2. 图像处理：SVD 可以将图像矩阵分解成三个矩阵，其中一个矩阵可以表示图像的主要特征，从而可以实现图像压缩、降噪等处理。此外，SVD 在图像水印、图像检索等方面也有重要应用。

3. 推荐系统：SVD 可以将用户-物品评分矩阵分解成三个矩阵，其中一个矩阵可以表示用户的偏好特征，另一个矩阵可以表示物品的属性特征。这种方法在推荐系统中广泛应用，例如Netflix竞赛中的著名算法。

4. 自然语言处理：SVD 可以对文本矩阵进行分解，提取文本的重要主题和特征，用于文本分类、文本聚类、文本推荐等任务。

5. 信号处理：SVD 可以将信号分解成一系列奇异值，这些奇异值表示信号的能量和频率分布等信息，从而可以实现信号分离、降噪、压缩等处理。

2 简单计算SVD

2.1 NumPy 计算 SVD

在numpy.linalg中使用 SVD 获得完整的矩阵 U、S 和 V。请注意，S 是一个对角矩阵，这意味着它的大部分条目都是零。这称为稀疏矩阵。为了节省空间，S 返回为奇异值的一维数组而不是完整的二维矩阵

import numpy as np
from numpy.linalg import svd

# 将矩阵定义为二维numpy数组
A = np.array([[4, 0], [3, -5]])

U, S, VT = svd(A)

print("Left Singular Vectors:")
print(U)
print("Singular Values:") 
print(np.diag(S))
print("Right Singular Vectors:") 
print(VT)
print(U @ np.diag(S) @ VT)

2.2 scikit-learn 计算截断 SVD

一般情况下用sklearn.decomposition中的TruncatedSVD修剪我们的矩阵。可以将输出中所需的特征数指定为n_components参数。n_components 应严格小于输入矩阵中的特征数：

import numpy as np
from sklearn.decomposition import TruncatedSVD

A = np.array([[-1, 2, 0], [2, 0, -2], [0, -2, 1]])
print("Original Matrix:")
print(A)

svd =  TruncatedSVD(n_components = 2)
A_transf = svd.fit_transform(A)

print("Singular values:")
print(svd.singular_values_)

print("Transformed Matrix after reducing to 2 features:")
print(A_transf)

2.3 scikit-learn 计算随机 SVD

随机 SVD 给出与截断 SVD 相同的结果，并且计算时间更快。截断 SVD 使用精确求解器 ARPACK，而随机 SVD 使用近似技术。

import numpy as np
from sklearn.utils.extmath import randomized_svd

A = np.array([[-1, 2, 0], [2, 0, -2], [0, -2, 1]])
u, s, vt = randomized_svd(A, n_components = 2)

print("Left Singular Vectors:")
print(u)

print("Singular Values:") 
print(np.diag(s))

print("Right Singular Vectors:") 
print(vt)

3 demo数据演示

3.1 导入函数

加载cv2需要下载一下，在shell中下载用以下命令，在jupyter中运行记得加！，这里为了齐全下载了opencv-contrib-python

pip install opencv-python   （如果只用主模块，使用这个命令安装）
pip install opencv-contrib-python （如果需要用主模块和contrib模块，使用这个命令安装）

# !pip install opencv-contrib-python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import cv2

3.2 导入数据

构建一个简单矩阵

A = np.ones((6, 6))
A[:,:2] = A[:,:2]*2
A[:,2:4] = A[:,2:4]*3
A[:,4:] = A[:,4:]*4
print(A)

# 定义颜色
our_map = 'hot'
#our_map = 'gray'

# 构建完整矩阵
U, S, VT = np.linalg.svd(A)
S = np.diag(S)

3.3 计算SVD

写一个一个构建绘制矩阵函数的def，类似于R的function，定义为draw_svd

def draw_svd(A,U, S, VT, our_map):
  plt.subplot(221 )
  plt.title('Original matrix')
  plt.imshow(A, cmap =our_map)
  plt.axis('off')
  plt.subplot(222)
  plt.title('U  matrix')
  plt.imshow(U, cmap =our_map)
  plt.axis('off')
  plt.subplot(223)
  plt.title('Sigma matrix')
  plt.imshow(S, cmap =our_map)
  plt.axis('off')
  plt.subplot(224)
  plt.title('V matrix')
  plt.imshow(VT, cmap =our_map)
  plt.axis('off')

如果对角线 sigma 值太小，出于数值/美学目的，我们将删除相应的非常小的 (u ), (v ) 元素。例如，如果一个奇异值是 1e-08 它不会影响重建，所以我们将这些小值设置为零：

def truncate_u_v(S, U, VT):
  threshold = 0.001
  s = np.diag(S)
  index = s < threshold

  U[:,index] = 0
  VT[index,:]=0
  return U, VT

U, VT = truncate_u_v(S, U, VT)
draw_svd(A, U, S, VT, our_map) 

这里用秩r近似值（这里r = 1），也称rank-1 近似计算有多少个求和项：

r = 1
A0_r = np.matmul(U[:,:r] , S[:r,:r]) 
A0_r = np.matmul (A0_r , VT[:r,:])
plt.imshow(A0_r, cmap =  our_map)
plt.axis('off')

对于这个例子，我们之前已经看到标志可以表示为 rank-1 近似值。在 ($\sigma $) 矩阵中，第一个上部元素是唯一的非零元素。此外，请注意，矩阵 (U ) 和 (V ) 被归一化，因此它们的 L2 范数等于 1。(V ) 矩阵有一行，其元素决定了不同的颜色值。

求解前面部分的 ($2\times2 $) 矩阵的数值示例。稍后将 Python 获得的值与我们已经计算出的值进行比较：

A = [[1, 0], [1, 1]]
U, S, VT = np.linalg.svd(A)
S = np.diag(S)

print(f"U {U}\nS {S}\nVT {VT}")

4 讨论

SVD 正在将我们的矩阵 $(A ) $分解为一组向量$ (v $) 和 $(u $)，以及一个对角矩阵。将有用于乘法的列向量、行向量和标量。这实际上是奇异值分解，将矩阵分解为项:

如果我们有一个 rank = ($2 $)，我们可以将矩阵分解为：

$$u_1{v}_1^T+u_2{v}_2^T$$

如果 rank = ($1 $)，结果应该是这样的：

$$u_1{v}_1^T$$

稍微复杂一点的分解是添加标量 (($\sigma $) – $\sigma$)，这将存储在对角矩阵中。我们对 rank-($2 $) 矩阵 ($2 $) 的基本分解：

$$A={\sigma }_1{u}_1{v}_1^T+{\sigma }_2{u}_2{v}_2^T$$

这里很明显的一件事是，实际上我们可以将这些 $\sigma$ 值视为加权系数。稍后，我们将它们存储在对角矩阵中。

SVD最常见的应用还是关于图像的，和笔者研究方向数据分析重合度不算高，后者只需要针对数据进行简单的降维即可，但对于图像压缩，图像恢复
特征量，谱聚类，视频背景去除等对于我这个学生物统计的真的裂开，

SVD这一部分实在难啃，建议阅读原文细品：

1. https://datahacker.rs/009-the-singular-value-decompositionsvd-illustrated-in-python/
2. https://scicoding.com/how-to-calculate-singular-value-decomposition-svd-in-python/