基于高斯贝叶斯对面部皮肤进行预测分析

作者：i阿极

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1、模型原理

高斯朴素贝叶斯算法是一种分类算法，它基于贝叶斯定理和特征之间的高斯分布假设。该算法被广泛应用于文本分类、垃圾邮件过滤、生物信息学等领域。

高斯朴素贝叶斯算法假设每个特征都是独立的，且每个特征在每个类别下都符合高斯分布。假设样本的特征为 $x_1,x_2,...,x_n$，样本所属的类别为 $y$，则高斯朴素贝叶斯算法可以表示为：

$p\left(y\mid x_1,x_2,\dots ,x_n\right)=\frac{p(y)p\left(x_1\mid y\right)p\left(x_2\mid y\right)\dots p\left(x_n\mid y\right)}{p\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)}$

$p(y)$ 表示类别 $y$ 在样本中出现的概率，$p(x_i|y)$ 表示在类别 $y$ 下，特征 $x_i$ 出现的概率，$p(x_1,x_2,...,x_n)$ 表示样本出现的概率.

为了方便计算，通常假设 $p(y)$、$p(x_i|y)$ 和 $p(x_1,x_2,...,x_n)$ 都符合高斯分布，其概率密度函数为：

$p\left(x_i\mid y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_{y,i}^2}}\exp \left(-\frac{{\left(x_i-{\mu }_{y,i}\right)}^2}{2{\sigma }_{y,i}^2}\right)$

${\mu }_{y,i}$ 表示类别 $y$ 下特征 $x_i$ 的均值，${\sigma }_{y,i}$ 表示类别 $y$ 下特征 $x_i$ 的标准差。

在训练阶段，需要根据训练数据集计算出每个类别下每个特征的均值和标准差。在预测阶段，需要根据已有的均值和标准差计算每个类别下的概率，并选择概率最大的类别作为预测结果

2、模型举例理解

为了更好的理解$p(x_i|y)$ 数学公式计算过程，我们将使用一个例子来解释。

假设我们有一个数据集，其中包含了年龄、收入以及一些其他特征，如下所示：

年龄	性别	是否放贷
23	8000	1
27	12000	1
25	6000	0
21	6500	0
32	15000	1
45	10000	1
18	4500	0
22	7500	1
23	6000	0
20	6500	0

我们的目标是通过这些特征来预测是否放贷。假设我们现在想要预测是否放贷，他的年龄为24岁，收入为8500元。我们需要使用高斯朴素贝叶斯算法来进行预测。

首先，计算因变量各类别的频率：

$\begin{array}{rl}& P(\text{ loan }=0)=5/10=0.5\\ & P(\text{ loan }=1)=5/10=0.5\end{array}$

其次，计算各类别的均值：

$\begin{array}{rl}& {\mu }_{{\text{Age }}_0}=21.40\\ & {\mu }_{{\text{Age }}_1}=29.8\\ & {\mu }_{{\text{Income }}_0}=5900\\ & {\mu }_{{\text{Income }}_1}=10500\\ & \end{array}$

最后，计算标准差：

$\begin{array}{rlrl}{\sigma }_{{\text{Age }}_0}& =2.42& & {\sigma }_{{\text{Age }}_1}=8.38\\ {\sigma }_{{\text{Income }}_0}& =734.85& & {\sigma }_{{\text{Income }}_1}2576.81\end{array}$

单变量条件概率：

$\begin{array}{rl}& P(\text{ Age }=24\mid \text{ loan }=0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\times 2.42}\exp \left(-\frac{(24-21.4{)}^2}{2\times 2.42^2}\right)=0.0926\\ & P(\text{ Age }=24\mid \text{ loan }=1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\times 8.38}\exp \left(-\frac{(24-29.8{)}^2}{2\times 8.38^2}\right)=0.0375\\ & P(\text{ Income }=8500\mid \text{ loan }=0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\times 734.85}\exp \left(-\frac{(8500-5900{)}^2}{2\times 734.85^2}\right)\\ & =1.0384\times 10^{-6}\\ & P(\text{ Income }=8500\mid \text{ loan }=1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\times 2576.81}\exp \left(-\frac{(8500-10500{)}^2}{2\times 2576.81^2}\right)\\ & =1.1456\times 10^{-4}\\ & \end{array}$

贝叶斯后验概率：

$\begin{array}{rl}& P(\text{ loan }=0\mid \text{ Age }=24,\text{ Income }=8500)\\ & =P(\text{ loan }=0)\times P(\text{ Age }=24\mid \text{ loan }=0)\times P(\text{ Income }=8500\mid \text{ loan }=0)\\ & =0.5\times 0.0926\times 1.0384\times 10^{-6}=4.8079\times 10^{-8}\\ & P(\text{ loan }=1\mid \text{ Age }=24,\text{ Income }=8500)\\ & =P(\text{ loan }=1)\times P(\text{ Age }=24\mid \text{ loan }=1)\times P(\text{ Income }=8500\mid \text{ loan }=1)\\ & =0.5\times 0.0375\times 1.1456\times 10^{-4}=2.1479\times 10^{-6}\end{array}$

经过上面的计算可知，当客户的年龄为24岁，并且收入为8500时，被预测为不放贷的概率是$4.8079\times 10^{-8}$，放贷的概率为$2.1479\times 10^{-6}$，所以根据$\mathrm{argmax}P\left(C_i\right)P\left(X\mid C_i\right)$的原则，可以给客户放贷。

3、实验环境

Python 3.9

Anaconda

Jupyter Notebook

4、高斯贝叶斯模型-面部皮肤判别

4.1数据说明

数据集信息：

皮肤数据集是通过从 FERET 数据库和 PAL 数据库中获得的不同年龄组（年轻、中年和老年）、种族组（白人、黑人和亚洲人）和性别的人脸图像中随机采样 B、G、R 值来收集的. 总学习样本量为245057；其中 50859 是皮肤样本，194198 是非皮肤样本。

属性信息：

该数据集的维度为 245057 * 4，其中前三列是 B、G、R（x1、x2 和 x3 特征）值，第四列是类标签（决策变量 y）。

4.2数据准备

导入数据

# 导入第三方包
import pandas as pd
# 读入数据
skin = pd.read_excel(r"D:\CSDN\machine learning\data\Skin_NonSkin.xlsx")
skin.head()

设置正例和负例

skin.y = skin.y.map({2:0,1:1})
print(skin.y.value_counts())

0表示负例，说明样本为非人类面部皮肤，含有194198个；1表示正例，说明样本为人类面部皮肤，含有50859

4.3划分训练集和测试集

将数据集划分为训练集和测试集，分别用于模型的构建和评估。

# 导入第三方模块
from sklearn import model_selection
# 样本拆分
X_train,X_test,y_train,y_test = model_selection.train_test_split(skin.iloc[:,:3], skin.y, 
                                                                 test_size = 0.25, random_state=1234)

4.4高斯贝叶斯模型建立

# 导入第三方模块
from sklearn import naive_bayes
# 调用高斯朴素贝叶斯分类器的“类”
gnb = naive_bayes.GaussianNB()
# 模型拟合
gnb.fit(X_train, y_train)
# 模型在测试数据集上的预测
gnb_pred = gnb.predict(X_test)
# 各类别的预测数量
pd.Series(gnb_pred).value_counts()

经统计，预测为负例的有50630条样本；预测为正例的有10635条样本。

4.5绘制混淆矩阵

# 导入第三方包
from sklearn import metrics
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
# 构建混淆矩阵
cm = pd.crosstab(gnb_pred,y_test)
# 绘制混淆矩阵图
sns.heatmap(cm, annot = True, cmap = 'GnBu', fmt = 'd')
# 去除x轴和y轴标签
plt.xlabel('Real')
plt.ylabel('Predict')
# 显示图形
plt.show()

print('模型的准确率为：\n',metrics.accuracy_score(y_test, gnb_pred))
print('模型的评估报告：\n',metrics.classification_report(y_test, gnb_pred))

经过对混淆矩阵的计算，可以得到模型的整体预测准确率为92.30%。通过准确率、精准率和覆盖率对比，模型的预测效果比较理想的。

4.6计算正例的预测概率，用于生成ROC曲线的数据

y_score = gnb.predict_proba(X_test)[:,1]
fpr,tpr,threshold = metrics.roc_curve(y_test, y_score)
# 计算AUC的值
roc_auc = metrics.auc(fpr,tpr)

# 绘制面积图
plt.stackplot(fpr, tpr, color='steelblue', alpha = 0.5, edgecolor = 'black')
# 添加边际线
plt.plot(fpr, tpr, color='black', lw = 1)
# 添加对角线
plt.plot([0,1],[0,1], color = 'red', linestyle = '--')
# 添加文本信息
plt.text(0.5,0.3,'ROC curve (area = %0.2f)' % roc_auc)
# 添加x轴与y轴标签
plt.xlabel('1-Specificity')
plt.ylabel('Sensitivity')
# 显示图形
plt.show()

由图可知，计算得到的AUC值为0.94，超过了用于评判模型好坏的阈值0.8.所以可以认为构建的高斯贝叶斯分类器是非常理想的。

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