背包问题

最近老顾从新把算法捡了起来，碰到了各种各样以前没见过的，工作中没遇到的问题，很多问题老顾都是一头雾水，完全没有思路，比如。。。背包问题？

背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V？它是在1978年由Merkle和Hellman提出的。

好家伙。。。。这问题够古老的，老顾78年才生人啊。

在看到各种题解之前，说实话，老顾完全不会解这个，太苦恼了，只能学别人的题解，而且因为学历问题，公式也看不懂，仅仅做到了会用这个解法罢了。

关于背包问题的描述，大家可以自行到百度百科了解，总之呢，算法很简单，实现很容易，开发语言表示这都不是事。

01背包

在使用了各种编程语言用各种算法实现了背包的解法后，老顾突然想到，数据库是否可以实现？不用流程控制？嘿嘿，Sqlserver 表示不服！

在各种背包解法里，老顾选择了二维数组方式，因为物品，重量，价值，这些加起来就是一个二维关系表了，所以，用这个方式不需要大动干戈了。

假设有5个物品 A、B、C、D、E，分别重10、12、11、16、10，分别价值12、16、61、24、15，问，在总计40承重的空间内，最大价值是多少？

这是一个最简单的 01 背包问题，每个物品只能用一次。很好，我们先用 cte 把原始数据弄出来。

;with t as (
	select 'A' name,10 w,12 p
	union all select 'B',12,16
	union all select 'C',11,16
	union all select 'D',16,24
	union all select 'E',10,15
)
select * from t

在这里插入图片描述
然后，老顾的思路非常简单啊，就是用 cte 递归，来实现背包计算，不过，看过老顾上一篇文章《row_number 和 cte 使用实例：考场监考安排》都知道，cte 的限制很多很多，不能多次递归，不能用外关联查询，不能列转行行转列等等等等。所以，老顾的变通方法，就是用 for xml 进行递归之间的数据传递。

那么，这次实现 01 背包问题也同样是如此。为了避免物品名有重复的问题，我们还是用 row_number 来排下序。

with ...
,t1 as (
	select *,row_number() over(order by name) rid from t
)
select * from t1

在这里插入图片描述
然后，还是用 master…spt_values 做数据填充，先实现第一个物品的背包数据。

with ...
select * from t1
cross apply (
	select number,(case when number<w then 0 else p end) cp
	from master..spt_values
	where type='p'
	and number<=40
) b
where rid=1

在这里插入图片描述
number 就表示称重的数量，我们可以看到当 number 与 w 相同的时候，背包内的价值数量就发生变动了。那么，如果我们用4个left join ，其实就可以完成背包的后续计算了，不过需要记得当新物品加入时，需要计算多物品价值，和原价值中，取最大的罢了。

不过，因为是要解决 01 背包问题，咱们最后的目的是具有泛用性，所以不确定到底有多少物品，所以用 join 方式解决就变得不可行了。还是要回到 cte 递归。而为了传递数据，我们需要将价值数据，作为参数传递给下一次使用，所以，还是得用 for xml。

with ...
select * 
from t1 
cross apply (
	select stuff((
		select ',' + convert(varchar,(case when number < w then 0 else p end))
		from master..spt_values 
		where type ='p' and number<=@place
		order by number
		for xml path('')
	),1,1,'') cols
) b
where rid=1

在这里插入图片描述

解决同一行数据需要引用两次的问题

在背包问题中，二维数组解法的最关键的一个步骤，就是需要比较当物品加入后的价值和原价值进行对比，不明白的小伙伴，自行搜索 01 背包问题，很多大佬都有填表格的解法说明。

而 cte 递归中，无法多次引用递归内容，所以，我们这里用 for xml 解决了，对 for xml 的数据进行拆分，从新变成多行数据。而这个数据引用，是可以无限次使用的哦。

比如，现在我们的 cols 列的数据是：

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12

表示40个格子的价值，这是一个字符串数据了，需要拆分成40行的数值类型数据。这里有几个办法：

1、高版本的SqlServer自带 string_split，需要 SqlServer 2016 以上，在切割后用 row_number 追加一下行号。
2、自行制作一个字符串切割函数，对版本没有要求，最好能自带行号，如果没有，也用 row_number 追加行号
3、使用正则，需要 SqlServer 2005 以上，开 clr

这里一定要追加行号哦，这个行号就是对应的格子承重哦，需要注意，用 row_number 追加行号的，需要减去1，否则承重计算会有误差的哦。

那么最后的递归部分完成后，查询指令就如下了。


declare @place int
set @place = 40

;with t as (
	select 'A' name,10 w,12 p
	union all select 'B',12,16
	union all select 'C',11,16
	union all select 'D',16,24
	union all select 'E',10,15
),tf as (
	select a.* 
	from t a
	cross apply (
		select number
		from master..spt_values
		where number<=(@place/w) and type='p'
	) b
),t1 as (
	select *,row_number() over(order by name) rid from t
),t2 as (
	select * 
	from t1 
	cross apply (
		select stuff((
			select ',' + convert(varchar,(case when number < w then 0 else p end))
			from master..spt_values 
			where type ='p' and number<=@place
			order by number
			for xml path('')
		),1,1,'') cols
	) b
	where rid=1
	union all
	select name,w,p,rid,ncols 
	from (
		select a.*,cols
		from t1 a,t2 b 
		where b.rid+1=a.rid
	) a
	cross apply (
		select stuff((
			select ',' + convert(varchar,(case 
				when m1.sn - 1 < a.w  -- 这里注意要有一个减 1 哦
				then convert(int,m1.match) -- 承重小于当前物品重量，继承上一次的价值数
				else -- 否则，该格子的价值，应该为上次价值数和加入该物品价值后的较大的那一个
					(case 
					when m2.rp + a.p > convert(int,m1.match) 
					then m2.rp + a.p 
					else convert(int,m1.match) 
					end)
				end))
			from master..RegexMatches(cols,'\d+') m1 -- 老顾这里是用正则切割的字符串，有需要正则的，可以查阅老顾以前的 sql 文章，或者在评论区扣老顾
			outer apply ( -- 再次切割一次，按照背包计算的方式，使承重减去当前物品重量，与原有承重价值对齐，方便计算当前物品加入后的价值和原价值
				select isnull(convert(int,match),0) rp 
				from master..regexmatches(cols,'\d+')
				where m1.sn - a.w = sn
			) m2
			order by m1.sn
			for xml path('')
		),1,1,'') ncols
	) b
)
select * from t2
order by rid

在这里插入图片描述
这个时候，我们只需要拿到最后一行数据中的 cols 中的最后一个数据，那就是最大价值了。

对 for xml 的结果进行引用时的处理

这里再补充一下，老顾用正则切出来的数据格式

select * from master..regexmatches('0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12','\d+')
sn          match      index
----------- ---------- -----------
1           0          0
2           0          2
3           0          4
4           0          6
5           0          8
6           0          10
7           0          12
8           0          14
9           0          16
10          0          18
11          12         20
12          12         23
13          12         26
14          12         29
15          12         32
16          12         35
17          12         38
18          12         41
19          12         44
20          12         47
21          12         50
22          12         53
23          12         56
24          12         59
25          12         62
26          12         65
27          12         68
28          12         71
29          12         74
30          12         77
31          12         80
32          12         83
33          12         86
34          12         89
35          12         92
36          12         95
37          12         98
38          12         101
39          12         104
40          12         107
41          12         110

(41 行受影响)

这次背包问题中，只用到了前两列，即sn和match列，用 string_split 的小伙伴，只需要生成两列的数据，分别表示 number 和 cp 列即可，老顾在递归里没有改列名，直接使用了，小伙伴可以自行修改，即可得到结果了。

完全背包

完全背包问题和 01 背包问题的区别在于，01 背包中，每个物品只能用 1 次，而完全背包则不限制数量，那么完全背包的问题可以转化成 01 背包，直接在 cte 里插入一个数据扩展部分即可。


declare @place int
set @place = 40

;with t as (
	select 'A' name,10 w,12 p
	union all select 'B',12,16
	union all select 'C',11,16
	union all select 'D',16,24
	union all select 'E',10,15
),tf as (  -- 插入一个临时表，用来计算如果承重完全放同一种物品时，每个物品最多能放多少个
	select a.* 
	from t a
	cross apply (
		select number
		from master..spt_values
		where number<=(@place/w) and type='p'
	) b
),t1 as ( -- 排序的数据来源，从原始表变成扩展表
	select *,row_number() over(order by name) rid from tf
),t2 as (
	select * 
	from t1 
	cross apply (
		select stuff((
			select ',' + convert(varchar,(case when number < w then 0 else p end))
			from master..spt_values 
			where type ='p' and number<=@place
			order by number
			for xml path('')
		),1,1,'') cols
	) b
	where rid=1
	union all
	select name,w,p,rid,ncols 
	from (
		select a.*,cols
		from t1 a,t2 b 
		where b.rid+1=a.rid
	) a
	cross apply (
		select stuff((
			select ',' + convert(varchar,(case 
				when m1.sn - 1 < a.w 
				then convert(int,m1.match)
				else
					(case 
					when m2.rp + a.p > convert(int,m1.match) 
					then m2.rp + a.p 
					else convert(int,m1.match) 
					end)
				end))
			from master..RegexMatches(cols,'\d+') m1
			outer apply (
				select isnull(convert(int,match),0) rp 
				from master..regexmatches(cols,'\d+')
				where m1.sn - a.w = sn
			) m2
			order by m1.sn
			for xml path('')
		),1,1,'') ncols
	) b
)
select * from t2
order by rid