本章是比较独特的一章，相对于前面的内容，内容较为独立，主要描述的是力学相关的一些理论。因此，读者也完全不必根据题目产生一些不必要的幻想，认为似乎看完这章我就可以学会机器人抓取。

不过，我仍然认为这章的内容是好的，且是必要的，因为实践的内容做的多了，往往就麻木了，纯粹变成一个工具人了，而不去思考背后深刻的原因。本章以可视化分析的形式，分析了接触运动学与接触力学的一些理论知识，非常有趣，建议阅读。

ps：年后的工作一下子忙了许多，每天就面向业务在做一些很繁琐的事情。静下心来想一想，每天忙忙碌碌，只有产出，却没有提升。回到家总是筋疲力尽，以至于根本没有精力去打开电脑，自己学习提升。

希望这种状态是短暂的吧。

接触运动学

令 $\text{[math]}$ 为两个刚体之间的距离，q为两个刚体的位形， $\text{[math]}$ 为距离关于位形的导数，

那么显而易见， $\text{[math]}$ 时两刚体保持接触，并且 $\text{[math]}$ 是刚体接触的必要条件。

（dq>0时为分离，<0时为穿透）

而不可穿透约束则可以写为：

$\text{[math]}$

可以看出如果物体A的接触点以及物体B的接触点的速度如果相同，或者虽然不同但是它俩和接触法线垂直，则保持接触，即 $\text{[math]}$ ，如果大于等于0则未接触。

当然，根据本书的惯例，一切都要表示成旋量的形式，参考最开始刚体运动这节课：

【现代机器人学】学习笔记二：刚体运动

我们知道旋量中的线速度v是沿轴的速度v与沿轴旋转引起的速度，即

移项推导，最后引入力旋量，得到新的不可穿透约束：

另外对于接触状态，还定义了有效约束：（注意书中印刷错了）

满足有效约束的运动旋量VA和VB称为一阶滚动-滑动运动。

这里区分滚动和滑动：

滚动约束：

即两个接触点的速度在某个坐标系下保持一致，那么这个接触叫做“滚动”rolling contact。

滑动：

满足有效约束，但是不满足滚动约束的，称为滑动约束。

用人话来说，就是两个物体的接触点是变化的，但是他们变化的方向和接触的法向量是垂直的，好比你穿上了时尚的滑板鞋，在这光滑的地上摩擦，鞋子并未脱离地面，所以鞋子和地面就是滑动。但是你的脚带着鞋一起动，脚底板和鞋垫之间就算是滚动摩擦。

多刚体接触

B表示脱离，S表示滑动，R表示滚动接触。

图a里，左上有一个手指。S那个面上属于滑动，因为可以顺着它滑。R的那一个点，算是滚动接触。而B整个区域则是脱离的接触。

图b中，也可以同样的分析，可以看到图中字母变成了两个，分别代表两个手指的接触状态。

图c中，假设右上方的手指在沿着V3方向移动，一共有七种可能的结果，我们可以看到，最后一个接触点不可能是R，因为如果是R的话，物块得沿着V3方向运动，那就得穿透第二个手指了，违反了不可穿透约束。

可行旋量多面体凸锥

如例题12.4，给了三个力旋量，然后给了限制即物体在平面上移动，即限制了vz，wx，wy，最后套入不可穿透约束的公式，运动约束表示为：

然后用锥体对它进行可视化：

则这个锥体内部的旋量，属于脱离类型的接触。

锥体的边缘和平面上的值对应的旋量，是有效约束。（即不可穿透约束刚好等于0的情况）

注意：

对于多个接触体，复合运动旋量空间，是以原点为顶点的。（上图就是一个例子）

m个物体构成的组合中，运动旋量的空间为6m维，每个接触就对这个维度产生一个约束。接触模式则像再上方的那个abc的图一样，是每个接触点接触方式的级联。

但是如果手指是机器人手指，是受到控制的，那么这样抓握的物体的可行的旋量锥体就不一定是以原点为顶点了。

其他类型接触

之前介绍的接触，都是至少有一个物体唯一的定义了接触的法线。（即12.6 a）

但是还有一些其他类型的接触，作者罗列了出来，意味着不再是手指的一个尖触点来接触物体的面。

作者提到e是退化场景不再考虑。

平面图形化方法

这一节的内容是用来分析单个物体的可行运动的。直接啃的话，说实话看起来是有些抽象的。不过我在这里直接用简单的方法描述它，让大家减少一些阅读的痛苦：

我们用旋转中心来描述物体的旋转，其中+为右手定则，逆时针旋转，0为不转，-为顺时针旋转。

然后这个图就只是一个对可行运动旋量的一个可视化，它分布在两个平面或者中间的球上：

（我们本节的运动是平面运动，因此只有wz，vx，vy有效，其他是0）

暂停一下：我觉得读者应该清楚的认识到作者是在讲些什么内容，不应该糊里糊涂的。我觉得对读者而言，可以不理解他的细节，但是应该知道他想表达什么内容。

现在在讲的CoR的分析是用来干嘛的？

是用来表示“与静止物体相接触的可移动物体的可行运动”。

对于一个静止手指，加上一个物体，可行的运动方式为：

这个图看似抽象，实际还是比较简单的。Sl表示物体向左滑动，Sr表示向右滑动。图里的+，Sl表示物体在接触点这里，关于接触点一瞬间是以逆时针在转，同时有向左的滑动。。其他以此类推，读者别被这些符号吓傻了。

为什么要分析单个物体的接触？

因为分析清楚了单个物体，多个物体的接触就是各自把这些东西画出来，舍去不合理的地方。例如：

我们可以看到，F1左边是+，那么F1右边是-，但是F2左边又是+，因此这里正负就抵消掉了。所以从b图可以看出，只有灰色的区域是能转动的。那么根据c图，也类似分析，Sl和Sr抵消的内容，就可以得到一系列候选的运动方案。

但这种只是一个简单的推理，并不是保证正确的，例如+SrBSr，这种用图的方式分析出来，似乎是合理的。但是这意味着，物体在左边+的区域逆时针转，同时对F1的接触往右滑动，对F2处的接触脱离，对F3处的接触向上滑动，即保持F1和F3的接触，脱离F2的接触。这怎么可能？直观上想象一下这个运动就不可能，根本就抬不起右下角的接触，因为它会穿透F3手指。

难道我们现在的分析不对吗？作者对这种原因给出了解释：

我们是采用一阶分析。

因此，结论是，n阶的滚动-滑动运动，可能被n+1阶的分析，分析为是穿透接触或者是脱离接触。但是一旦n阶已经分析称为穿透或脱离，更高阶的分析也不会再改变结论。