数列的极限的定义:
当正多边形的边数越来越多时,正多边形的面积越来越接近于圆的面积。
这个过程就叫做极限。
数列的形式:
数列的每一个下标对应一个数列元素值。
认识数列
这就是4个数列的表现形式。
当数列的下标无限增长时,数列能否无限接近于一个确定的值?
我们根据例子1来讲解数列的极限:
数列极限的定义:
我们先分析数列极限的几何定义:
落在领域中的无限项全部无限接近于极限值。
分析现实意义:
这两个数列有什么关系吗?
第二个数列实际上就是第一个数列舍弃掉首项之后的数列,所以数列Xn+1的极限值也为A,前面有限项的元素个数对极限值没有任何影响。
例题1:
我们进行证明:
收敛数列的性质:
唯一性:
一个数列只有一个极限值
如何证明,我们用反证法:
有界性:
有界性的定义:
数列中的所有元素全部属于(-M,M)之间。
有界性:收敛数列必有界。
有界数列必然收敛吗?
错,我们举一个反例:
保号性:
如果数列的极限值大于0,一定存在一个N,使N之后的所有元素全部大于0.
我们进行证明:
推论:
我们使用反证法:
这种写法可以吗?
我们把大于号换成等于可以吗?
答:不可以,我们举出一个反例:
那这种写法呢?
答:不可以,我们举出一个反例:
收敛数列与子列之间的关系:
数列Xn的极限值为a的充要条件是该数列的奇数列和偶数列的极限值都为a。