数列的极限

news2024/11/13 15:12:11

数列的极限的定义:

 当正多边形的边数越来越多时,正多边形的面积越来越接近于圆的面积。

这个过程就叫做极限。

数列的形式:

 数列的每一个下标对应一个数列元素值。

认识数列

这就是4个数列的表现形式。

 当数列的下标无限增长时,数列能否无限接近于一个确定的值?

 我们根据例子1来讲解数列的极限:

 数列极限的定义:

 我们先分析数列极限的几何定义:

 落在领域中的无限项全部无限接近于极限值。

 分析现实意义:

 

 这两个数列有什么关系吗?

第二个数列实际上就是第一个数列舍弃掉首项之后的数列,所以数列Xn+1的极限值也为A,前面有限项的元素个数对极限值没有任何影响。

 例题1:

 我们进行证明:

收敛数列的性质:

唯一性:

一个数列只有一个极限值

如何证明,我们用反证法:

有界性:

有界性的定义:

数列中的所有元素全部属于(-M,M)之间。

 有界性:收敛数列必有界。

 有界数列必然收敛吗?

错,我们举一个反例:

 保号性:

如果数列的极限值大于0,一定存在一个N,使N之后的所有元素全部大于0.

 我们进行证明:

 推论:

 我们使用反证法:

 这种写法可以吗?

 我们把大于号换成等于可以吗?

答:不可以,我们举出一个反例:

 

那这种写法呢?

答:不可以,我们举出一个反例:

 

 收敛数列与子列之间的关系:

 数列Xn的极限值为a的充要条件是该数列的奇数列和偶数列的极限值都为a。

 

 

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