动态规划解决LeetCode 62题：不同路径问题
1. 题目链接
LeetCode 62. 不同路径
2. 题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起点标记为“Start”）。机器人每次只能向右或向下移动一步。机器人试图达到网格的右下角（标记为“Finish”）。问总共有多少条不同的路径？
示例：
- 输入：
m = 3,n = 7 - 输出：
28
3. 示例分析
以 m = 2, n = 2 为例，机器人需要从 (0,0) 移动到 (1,1)，可能的路径有两条：
- 向右 -> 向下
- 向下 -> 向右
动态规划表格初始化后，每个位置的值表示到达该位置的路径数。通过逐步填充表格，最终得到右下角的值即为答案。
4. 算法思路
动态规划状态定义
- 定义
dp[i][j]表示从起点(0,0)到达(i-1, j-1)位置的路径数（这里i和j从1开始，避免越界）。
状态转移方程
- 每个位置的路径数等于上方和左方位置的路径数之和：
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
初始化技巧
- 初始化
dp[0][1] = 1，使得当计算dp[1][1]时，能够正确推导出初始值1。通过这种方式，无需单独处理第一行和第一列的初始化。
5. 边界条件与注意事项
- 网格维度为 1x1：直接返回
1。 - 网格只有一行或一列：路径数始终为
1。 - 索引处理：由于
dp数组的维度为(m+1) x (n+1)，遍历时需从i=1和j=1开始。
6. 代码实现
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
dp[0][1] = 1; // 巧妙初始化，便于计算第一格
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}
}
return dp[m][n];
}
};
代码解析
- 初始化：
dp[0][1] = 1使得dp[1][1] = 1，无需单独处理第一行或列。 - 双重循环：按行优先顺序填充表格，确保每个位置的上方和左方已被计算。
- 返回值：最终结果存储在
dp[m][n]，对应右下角的位置。
通过动态规划方法，时间复杂度为 O(mn)，空间复杂度为 O(mn)。此方法直观且易于理解，适合处理中等规模的网格路径问题。
