LeetCode096不同的二叉搜索树(相关话题：卡特兰数)

news2024/11/15 11:28:10

题目描述

解题思路

代码实现

进出栈序列理解卡特兰数分析策略

题目描述

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

解题思路

题目要求是计算不同二叉搜索树的个数。为此，我们可以定义两个函数：

G(n): 长度为 n 的序列能构成的不同二叉搜索树的个数。

F(i,n) 以 i为根、序列长度为 n 的不同二叉搜索树个数 (1≤i≤n)。

可见，G(n) 是我们求解需要的函数。

稍后我们将看到，G(n)可以从 F(i,n)得到，而 F(i,n)又会递归地依赖于 G(n)。

首先，根据上一节中的思路，不同的二叉搜索树的总数 G(n)，是对遍历所有 i (1≤i≤n)的 F(i,n) 之和。换言之：

公式一

$G\left ( n \right ) \sum_{i=1}^{n}F(i,n)$

对于边界情况，当序列长度为 1（只有根）或为 0（空树）时，只有一种情况，即：
G(0)=1,G(1)=1
给定序列 1⋯n，我们选择数字 i 作为根，则根为 i的所有二叉搜索树的集合是左子树集合和右子树集合的笛卡尔积，对于笛卡尔积中的每个元素，加上根节点之后形成完整的二叉搜索树，如下图所示：

因此，我们可以得到以下公式：

公式二

F(i,n)=G(i−1)⋅G(n−i)

将公式一二结合，可以得到 G(n的递归表达式：

$G\left ( n \right ) \sum_{i=1}^{n}G(i-1,n) G(n-i,n)$

事实上我们在方法一中推导出的 G(n)函数的值在数学上被称为卡塔兰数

卡塔兰数更便于计算的定义如下:

代码实现

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] G = new int[n + 1];
        G[0] = 1;
        G[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                G[i] += G[j - 1] * G[i - j];
            }
        }
        return G[n];
    }
}

进出栈序列理解卡特兰数分析策略

这是一道最经典的入门级卡特兰数题目，如果能把这题看懂，相信后面的题目也能迎刃而解。

题目

n 个元素进栈序列为：1，2，3，4，...，n，则有多少种出栈序列？

思路

我们将进栈表示为 +1，出栈表示为 -1，则 1 3 2 的出栈序列可以表示为：+1 -1 +1 +1 -1 -1。

根据栈本身的特点，每次出栈的时候，必定之前有元素入栈，即对于每个 -1 前面都有一个 +1 相对应。因此，出栈序列的所有前缀和必然大于等于 0，并且 +1 的数量等于 -1 的数量。

接下来让我们观察一下 n = 3 的一种出栈序列：+1 -1 -1 +1 -1 +1。序列前三项和小于 0，显然这是个非法的序列。

如果将第一个前缀和小于 0 的前缀，即前三项元素都进行取反，就会得到：-1 +1 +1 +1 -1 +1。此时有 3 + 1 个 +1 以及 3 - 1 个 -1。

因为这个小于 0 的前缀和必然是 -1，且 -1 比 +1 多一个，取反后，-1 比 +1 少一个，则 +1 变为 n + 1 个，且 -1 变为 n - 1 个。进一步推广，对于 n 元素的每种非法出栈序列，都会对应一个含有 n + 1 个 +1 以及 n - 1 个 -1 的序列。

如何证明这两种序列是一一对应的？

假设非法序列为 A，对应的序列为 B。每个 A 只有一个"第一个前缀和小于 0 的前缀"，所以每个 A 只能产生一个 B。而每个 B 想要还原到 A，就需要找到"第一个前缀和大于 0 的前缀"，显然 B 也只能产生一个 A。

每个 B 都有 n + 1 个 +1 以及 n - 1 个 -1，因此 B 的数量为 $\textrm{C}_{2n}^{n+1}$ 相当于在长度为 2n 的序列中找到 n + 1 个位置存放 +1。相应的，非法序列的数量也就等于 $\textrm{C}_{2n}^{n+1}$ 。
出栈序列的总数量共有 $\textrm{C}_{2n}^{n}$ ，因此，合法的出栈序列的数量为 $\textrm{C}_{2n}^{n} - \textrm{C}_{2n}^{n+1} = \frac{\textrm{C}_{2n}^{n} }{n+1}$