一、二叉树的顺序存储

在前面我们已经讲了二叉树的链式存储，就是一棵树的左孩子和右孩子
而现在讲的是：顺序存储一棵二叉树。

1.1、存储方式

使用数组保存二叉树结构，方式即将二叉树用层序遍历方式放入数组中。一般只适合表示完全二叉树，因为非完全二叉树会有空间的浪费。
这种方式的主要用法就是堆的表示

下标关系

已知双亲(parent)的下标，则：
左孩子(left)下标 = 2 * parent + 1;
右孩子(right)下标 = 2 * parent + 2;

已知孩子（不区分左右）(child)下标，则：
双亲(parent)下标 = (child - 1) / 2;

也就是前面我们将的性质5：
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

（1）若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
（2）若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
（3）若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

二、堆

2.1、概念

堆逻辑上是一棵完全二叉树
堆物理上是保存在数组中
满足任意结点的值都大于其子树中结点的值，叫做大堆，或者大根堆，或者最大堆
反之，则是小堆，或者小根堆，或者最小堆
堆的基本作用是，快速找集合中的最值：无论是大根堆还是小根堆，它们的最值【最大值和最小值】都处于二叉树的根结点处。要想获得最值，直接 peek 方法，就能获得树的根结点值 / 最值。

2.2、操作-向下调整

前提：左右子树必须已经是一个堆 / 逻辑上是一棵完全二叉树。
将一组记录完全二叉树数据的数组转换成大根堆。
在这里插入图片描述

向下调整出现的问题：

得出结论:其实每棵树的调整结束位置都是一样的︰不能超过数组长度。

如何构造一个向下调整的函数 - 重点
在这里插入图片描述

public class TestHeap {
    public int[] elem;//底层是一个数组
    public int usedSize;

    //
    public TestHeap(){
        this.elem = new int[10];
    }

    /**
     * 创建堆
     * @param array 堆里面存放的元素
     */
    public void creatHeap(int[] array){
        //将array数组的元素存入elme 数组
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            elem[i] = array[i] ;
            usedSize++;
        }
        for (int praent = (usedSize-1-1)/2; praent >= 0; praent--) {
            shiftDown(praent,usedSize);
        }
    }

    /**
     * 向下调整
     * @param praent 每棵子树的父亲节点
     * @param len 调整的结束位置，不能大于数组的长度
     */
    public void shiftDown(int praent, int len){
        int child = 2+praent +1;
        while (child < len){
            if(child + 1 > len && this.elem[child] < this.elem[child+1]){
                child++;
            }

            if(elem[child] > elem[praent]){
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[praent];
                elem[praent] = tmp;

            }else {
                break;
            }
        }
    }
}

测试一下：
在这里插入图片描述

模拟实现堆的时间复杂度
在这里插入图片描述
上图转载于：堆 / 优先队列

粗略估算，可以认为是在循环中执行向下调整，为 O(n * log(n))
（了解）实际上是 O(n)
堆排序中建堆过程时间复杂度O(n)怎么来的？

2.3、操作-建堆

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆

图示（以大堆为例）：

// 建堆前
int[] array = { 1,5,3,8,7,6 };
// 建堆后
int[] array = { 8,7,6,5,1,3 };

三、堆的应用-优先级队列

3.1、概念

在很多应用中，我们通常需要按照优先级情况对待处理对象进行处理，比如首先处理优先级最高的对象，然后处理次
高的对象。最简单的一个例子就是，在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话。
在这种情况下，我们的数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这
种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)

优先级队列的实现方式有很多，但最常见的是使用堆来构建

3.2、堆的基本操作

我们知道堆分为大根堆和小根堆，那Java中自带的默认是大根堆还是小根堆？？？
Java集合中默认是小根堆

我们测试一下：

public static void main(String[] args) {
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
        priorityQueue.offer(12);
        priorityQueue.offer(3);
        priorityQueue.offer(18);

        System.out.println(priorityQueue.poll());
        System.out.println(priorityQueue.poll());

    }

在这里插入图片描述

优先级队列 - 模拟实现入队 – offer（）
在这里插入图片描述

/**
     *  插入元素
     * @param val
     */
    public void offer(int val){
        if(isFull()){
            //扩容
            elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
        }
        //没有满就将val放在数组的最后一个元素
        elem[usedSize] = val;
        usedSize++;

        //然后就调整堆，使其成为一个大根堆
        shiftUp(usedSize-1,val);
    }


    /**
     *
     * @param child 孩子节点的坐标
     * @param val 要插入的值
     */
    public void shiftUp(int child, int val){
        int praent = (child - 1) / 2;

        while(praent > 0){
            if(elem[child] > elem[praent]){
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[praent];
                elem[praent] = tmp;

                //然后再改变child 和 praent 的指向
                child = praent;
                praent = (child - 1) / 2;
            }else {
                break;
            }
        }
    }

    public boolean isFull(){
        return this.elem.length == usedSize;
    }

在这里插入图片描述

优先级队列 - 模拟实现出队 – poll（）
在这里插入图片描述

public int poll(){
        if(isFull()){
            throw new RuntimeException("队列为null！");
        }
        //先将0下标和数组的最后一个元素交换
        int tmp = elem[0];
        elem[0] = elem[usedSize-1];
        elem[usedSize-1] = tmp;
        usedSize--;

        //然后向下调整0下标这棵树
        shiftDown(0,usedSize);
        return tmp;
    }
    //判断是否为null
    public boolean isEmpty(){
        if (usedSize == 0){
            return true;
        }
        return false;
    }

总程序

public class Heap {
    public int[] elements;// 底层数组
    public int usedSize;// 有效元素个数
    // 构造方法
    public Heap(){
        // 数组初始化容量
        this.elements = new int[10];
    }
     // 创建堆，获取 输入数组 的 数据
    public void creationHeap(int[] array){
        this.usedSize += array.length;
        if(isFull()){
            this.elements = Arrays.copyOf(this.elements,this.elements.length*2);
        }
        this.elements = Arrays.copyOf(array,array.length);

        for(int parent = (this.usedSize -1 - 1)/2 ;parent >= 0;parent--){
            // 向下调整
            shiftDown(parent,this.usedSize);
        }
    }
    // 向下调整
    public void shiftDown(int parent,int len){
        int child = parent * 2 + 1;// 左孩子
        // 能进入该循环，说明 这个 parent 只少有一个孩子。
        while(child < len){
            // 获取 左右孩子的最大值
            if(child+1 < len &&this.elements[child] < this.elements[child+1]){
                child++;
            }
            // 判断 孩子最大值 是否 比  双亲节点 val 值 大
            // 如果大，就需要进行交换
            if(this.elements[child] > this.elements[parent]){
                int tmp = elements[child];
                elements[child] = elements[parent];
                elements[parent] = tmp;

                // 见附图
                parent = child;
                child = parent * 2 + 1;
            }else{
                break;
            }
        }
    }

    // 入队操作
    public void offer(int val){
        if(isFull()){
            // 扩容
            this.elements = Arrays.copyOf(this.elements,this.elements.length * 2);
        }
        elements[usedSize++] = val;
        //usedSize++;
        shiftUp(usedSize-1);// 有效元素个数 是 usedSize,最后一个元素的下标是 usedSize -1
    }
    private void shiftUp(int child){
        int parent = (child - 1)/2;
        while(child > 0){
            if(this.elements[child] > this.elements[parent]){
                int tmp = this.elements[child];
                this.elements[child] = this.elements[parent];
                this.elements[parent] = tmp;
                child = parent;
                parent = (child - 1) / 2;
            }else{
                break;
            }
        }
    }
    // 判断队列满没满
    public boolean isFull(){
        return this.usedSize >= this.elements.length;
    }

    // 出队操作
    public int poll(){
        if(isEmpty()){
            throw new RuntimeException("优先级队列为空！");
        }
        int tmp = this.elements[0];
        this.elements[0] = this.elements[this.usedSize -1];
        this.elements[this.usedSize - 1] = tmp;
        this.usedSize--;
        shiftDown(0,usedSize);
        return tmp;
    }

    // 判断队列 空不空
    public boolean isEmpty(){
        return this.usedSize == 0;
    }
    public int peek(){
        if(isEmpty()){
            throw new RuntimeException("优先级队列为空！");
        }
        return this.elements[0];
    }

}

四、校招 – TopK问题

问题描述：

从arr[1, n]这n个数中，找出最大的k个数，这就是经典的TopK问题。（从100万中找出最大的k个数）

栗子：

从arr[1, 12]={5,3,7,1,8,2,9,4,7,2,6,6} 这n=12个数中，找出最大的k=5个。

在这里插入图片描述
总结

1、如果求前K个最大的元素，要建一个小根堆。
2、如果求前K个最小的元素，要建一个大根堆。
3、如果是求第k大的元素，建一个小堆，小根堆堆顶的元素就是第k大的元素。
4、如果是求第k小的元素，建一个大堆，大根堆堆顶的元素就是第k小的元素。

五、堆的其他应用-堆排序

1、将数据调整为大根堆、
2、0 下标与最后一个未排序的元素进行交换即可。
3、循环上述两个操作，直至最后一个未排序的元素下标为 0.。

在这里插入图片描述

/**
     * 堆排序
     */
    public void heapSort(){
        int last  = usedSize - 1;
        while (last  > 0){
            int tmp = elem[0];
            elem[0] = elem[last ];
            elem[last ] = tmp;
            shiftDown1(0,last);
            last --;
        }
    }

    /**
     *向下调整
     * @param parent
     * @param len
     */
    public void shiftDown1(int parent,int len){
        int child = parent * 2 + 1;// 左孩子
        // 能进入该循环，说明 这个 parent 只少有一个孩子。
        while(child < len){
            // 获取 左右孩子的最大值
            if(child+1 < len &&this.elem[child] < this.elem[child+1]){
                child++;
            }
            // 判断 孩子最大值 是否 比  双亲节点 val 值 大
            // 如果大，就需要进行交换
            if(this.elem[child] > this.elem[parent]){
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = tmp;
                
                parent = child;
                child = parent * 2 + 1;
            }else{
                break;
            }
        }
    }