AVL树

代码

高度平衡二叉搜索树

• 引入

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当

于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年

发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之

差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。AVL树用三个人名首字母命名的。

• 一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

  • 它的左右子树都是AVL树

  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

    • 不一定需要平衡因子，使用平衡因子是一种控制实现方式

非常接近满二叉树，插入10亿个节点将近30层左右.

模拟实现

Insert重点

在SB树的基础之上如何保证接近平衡呢>-平衡因子.一个节点的平衡因子受到他的左右子树的影响。

• 插入到节点的右边，该节点的平衡因子需要++，左边就–.
• 新增节点只会影响他的祖先节点的平衡因子.

控制平衡:

1. 更新平衡因子，新增节点到根节点的祖先路径

2. 出现异常平衡因子就需要旋转平衡树

3. 出现一下五种情况:

• 更新以后，parent->bf == 0，更新结束。说明更新前parent->bf是1或者-1，现在变成0，说明填上了矮的那边，parent所处的子树高度不变也就不会对上一层进行影响。
• 更新以后，parent->bf==1/-1,继续向上更新，更新前parent->bf=0,现在变成1、-1，我有一遍子树变高了
  parent所在的子树高度变了,需要继续向上更新.
• 更新以后，parent->bf=2或者-2，parent已经不平衡了，需要旋转处理。根据平衡因子的正负来区别类型。

简单情况推演:

旋转->平衡

右单旋

• 右单旋引入

右单旋(左腿长)

1. 保持搜索树的规则

2. 控制平衡

• 右单旋抽象图

• 右单旋具象图

• 右单旋代码理解

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subl = parent->_left;
		Node* sublr = subl->_right;
		//进行旋转维护三叉连
		parent->_left = sublr;
		if (sublr)
			sublr->_parent = parent;
		Node* pparent = parent->_parent;

		subl->_right = parent;
		parent->_parent = subl;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subl;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pparent->_left == parent)
				pparent->_left = subl;
			else
				pparent->_right = subl;
			subl->_parent = pparent;
		}
		subl->_parent = parent->_bf = 0;
	}

• 连接时要注意是否是空节点，以及一定要保证三叉连。

左单旋

右边腿长

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subr = parent->_right;
		Node* subrl = subr->_left;

		Node* pparent = parent->_parent;
		parent->_parent = subr;
		subr->_left = parent;
		parent->_right = subrl;
		if (subrl)
			subrl->_parent = parent;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subr;
			subr->_parent == nullptr;
		}

		else
		{
			if (pparent->_left == parent)
			{
				pparent->_left = subr;
			}
			else
			{
				pparent->_right = subr;
			}
			subr->_parent = pparent;
		}
		subr->_bf = parent->_bf = 0;
	}

左右双旋

• 如何验证AVL树是没有问题的？高度，每一颗子树都得检查一遍是不是AVL树的形状。IsBalance()

• 平衡因子是否都更新正确？树构建完成之后再进行插入节点。

双旋平衡因子更新错误

右左双旋

双旋时平衡因子的更新是由两次单旋完成的，在这里出现的问题,在未是平衡树的时候就将平衡因子更新为0了。

• 如何识别是那种情况?

  可以通过60 的平衡因子识别三种情况,所以在两次旋转之前要将三个特殊节点保存

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subr = parent->_right;
		Node* subrl = subr->_left;
		int bf = subrl->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subr->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			//
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

左右双旋

对三种情况特判来更新平衡因子即可.

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subl = parent->_left;
		Node* sublr = subl->_right;
		int bf = sublr->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subl->_bf = -1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

所以要在双旋的函数中，在单旋操作对于平衡因子更新之后，再进行对于平衡因子特殊情况的自我更新。对于值的更新不明白的自己画个图就明白了，-1 1
0都是确定的，因为只有出发这些情况才会满足。性能接近logN.

erase了解

首先按照搜索树的规则删除,然后更新平衡因子,如果有需要再进行旋转.

AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证

查询时高效的时间复杂度，即 logN.但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：

插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。

因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，