C++---线性dp---传纸条（每日一道算法2023.2.26）

news2024/9/23 17:17:56

注意事项：
本题dp思路与 “线性dp–方格取数” 一致，下方思路仅证明为什么使用方格取数的思路是正确的。

题目：
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。

一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 m
行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。
幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。

纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 (1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)。
从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。

班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙，反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0表示），可以用一个 0∼100的自然数来表示，数越大表示越好心。

小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。
现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式
第一行有 2个用空格隔开的整数 m和 n，表示学生矩阵有 m行n列。
接下来的 m行是一个 m×n的矩阵，矩阵中第 i行 j列的整数表示坐在第 i行 j列的学生的好心程度，每行的 n个整数之间用空格隔开。

输出格式
输出一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

数据范围
1≤n,m≤50

输出：
34

#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 55;
int w[N][N], f[N+N][N][N];		//注意k要开两倍，因为是i+j的总和
int n, m;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    n = max(n, m);	//这里n使用较大的做为边界即可，因为多算几个0不影响结果
		
    for (int i = 1; i<=n; i++)
        for (int j = 1; j<=m; j++) cin >> w[i][j];
	
	//线性dp
    for (int k = 2; k<=n+m; k++) {
        for (int i1 = 1; i1<=n; i1++) {
            for (int i2 = 1; i2<=n; i2++) {
            	// k = i1+j1 = i2+j2, 切记是相等关系
                int j1 = k-i1, j2 = k-i2;
                if (j1>=1 && j2>=1 && j1<=n && j2<=n) {	 //判断j1和j2的合法性
                	//如果是重叠点就只加一次，例如(1,2)(1,2), 如果是非重叠点就将两个点都加上，例如(1, 2)(2, 1)
                    int t = w[i1][j1];
                    if (i1 != i2) t += w[i2][j2];
                    
                    //引用节省代码量，分四种情况讨论上两个点如何进行移动
                    int &x = f[k][i1][i2];
                    x = max(x, f[k-1][i1-1][i2-1]);		//down,down
                    x = max(x, f[k-1][i1-1][i2]);		//down,right
                    x = max(x, f[k-1][i1][i2-1]);		//right,down
                    x = max(x, f[k-1][i1][i2]);			//right, right
                    x += t;
                }
            }
        }
    }

    cout << f[n+m][n][n];
    return 0;
}