R-旋转操作

在量子计算中，RX, RY, RZ门是三种基本的单量子比特旋转门，它们分别绕X轴、Y轴、Z轴旋转量子比特的态矢量。

RX旋转门：绕X轴旋转角度为$\theta$的RX门的矩阵表示为：
$$R_x(\theta )\left(\begin{array}{ccc}cos\frac{\theta }{2}& & -isin\frac{\theta }{2}\\ -isin\frac{\theta }{2}& & cos\frac{\theta }{2}\end{array}\right)$$

RY旋转门：绕Y轴旋转角度为$\theta$的RY门的矩阵表示为：
$$R_y(\theta )\left(\begin{array}{ccc}cos\frac{\theta }{2}& & -sin\frac{\theta }{2}\\ sin\frac{\theta }{2}& & cos\frac{\theta }{2}\end{array}\right)$$

RZ旋转门：绕Z轴旋转角度为$\theta$的RZ门的矩阵表示为：
$$R_z(\theta )\left(\begin{array}{ccc}{e}^{-i\frac{\theta }{2}}& & 0\\ 0& & e^{i\frac{\theta }{2}}\end{array}\right)$$

对量子态$|0⟩$的$\pi$旋转

对一个单量子比特进行R旋转门操作，旋转角度为$\pi$，最终输出态表示如下：
RX旋转门：绕X轴旋转角度为$\pi$的RX门的矩阵表示为：
$$R_x(\pi )\left(\begin{array}{ccc}cos\frac{\pi }{2}& & -isin\frac{\pi }{2}\\ -isin\frac{\pi }{2}& & cos\frac{\pi }{2}\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}1& & -i\\ -i& & 1\end{array}\right)$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}1& & -i\\ -i& & 1\end{array}\right)|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}1& & -i\\ -i& & 1\end{array}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-i|1⟩)$$

RY旋转门：绕Y轴旋转角度为$\pi$的RY门的矩阵表示为：
$$R_y(\pi )|0⟩=\left(\begin{array}{ccc}cos\frac{\pi }{2}& & -sin\frac{\pi }{2}\\ sin\frac{\pi }{2}& & cos\frac{\pi }{2}\end{array}\right)|0⟩=\left(\begin{array}{ccc}0& & -1\\ 1& & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=|1⟩$$

RZ旋转门：绕Z轴旋转角度为$\pi$的RZ门的矩阵表示为：
$$R_z(\pi )|0⟩=\left(\begin{array}{ccc}{e}^{-i\frac{\pi }{2}}& & 0\\ 0& & e^{i\frac{\pi }{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ e^{i\frac{\pi }{2}}\end{array}\right)=e^{i\frac{\pi }{2}}|1⟩=-i|1⟩$$
根据欧拉公式
$$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$$

代入对应公式可得
$$e^{i\frac{\pi }{2}}=0+i=i$$

弧度（radians）和角度（degrees）是表示角度大小的两种不同的方式。它们之间的转换公式为：
从角度转换到弧度：${\theta }_{rad}={\theta }_{deg}\cdot \frac{\pi }{180}$
从弧度转换到角度：${\theta }_{deg}={\theta }_{rad}\cdot \frac{180}{\pi }$
其中，${\theta }_{rad}$ 表示弧度，${\theta }_{deg}$ 表示角度。例如，如果要将 $60^{\circ }$ 转换为弧度，可以使用上述公式进行计算：
${\theta }_{rad}=60^{\circ }\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{3}$
因此，$60^{\circ }$ 转换为弧度为 $\frac{\pi }{3}$。同样地，如果要将 $\frac{\pi }{4}$ 转换为角度，可以使用上述公式进行计算：
${\theta }_{deg}=\frac{\pi }{4}\cdot \frac{180}{\pi }=45^{\circ }$
因此，$\frac{\pi }{4}$ 转换为角度为 $45^{\circ }$。

实战应用

ex)
初始态为 $|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$，对其分别进行 三态旋转门操作，旋转角度为 $45^{\circ }$，即 $\frac{\pi }{4}$ 弧度，它们的输出态是?

解析

假设旋转角度为 $\theta$，则 $R_z(\theta )$ 门的矩阵形式为：

$$R_z(\theta )=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\frac{\theta }{2}}& 0\\ 0& e^{i\frac{\theta }{2}}\end{array}\right)$$

初始态为 $|-⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ 的量子比特经过一个 $R_z(\theta )$ 门后，其输出量子态为：

$$\begin{array}{rlr}{R}_z(\theta )|-⟩& =\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\frac{\theta }{2}}& 0\\ 0& e^{i\frac{\theta }{2}}\end{array}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}{e}^{-i\frac{\theta }{2}}\\ -e^{i\frac{\theta }{2}}\end{array}\right)\end{array}$$

因此，初始态为 $|-⟩$ 的量子比特经过一个 $R_z(\theta )$ 门后的输出量子态为 $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}{e}^{-i\frac{\theta }{2}}\\ -e^{i\frac{\theta }{2}}\end{array}\right)$。

公式中的$R_z(45°)$
$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i$$

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$$

$$\begin{gathered} R_z(\theta )|-⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i)|0⟩-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)|1⟩ \\ =\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)-\frac{1}{\sqrt{2}}i(|0⟩+|1⟩)) \\ =\frac{1}{\sqrt{2}}|-⟩-i\frac{1}{\sqrt{2}}|+⟩ \end{gathered}$$

因此，当测量发生时，有二分之一的概率落到两种混合态上，而每种混合态还有两种不同的概率使测量得到0或者1。结果而言得到0和1的概率各为50%，但是其中同样是得到0状态，其来源可能来自于不同的混合态。