守恒律表示了物体中某些物理场量之间的关系，它可表述为：某一时刻 $t$，对于物理场量 $\mathbf{\Phi }$ 在物体体积 $v$ 上的物质积分，其时间变化率等于另一物理场量 $\mathbf{\Psi }$(源) 在该体积上的物质积分，与通过物体表面 $\partial v$ “流入”的物理量 $\pi$(流) 的面积分之和。即
$$\frac{D}{Dt}{\int }_v\rho \mathbf{\Phi }dv={\int }_v\rho \mathbf{\Psi }dv+{\int }_{\partial v}\pi (\vec{N})dS\mathbf{\Phi }(\vec{x},t),\mathbf{\Psi }(\vec{x},t),\pi (\vec{N})\in {\mathcal{T}}_r(V)$$
式中，假定流不仅依赖于位置坐标与时间，同时还依赖于物体表面的单位外法向 $\vec{N}$，故将其表示为 $\pi (\vec{N})$；$\rho (\vec{x},t)$ 为非负标量，称作(质量)密度。

现考虑一个代表性物质点 $\mathbf{A}$，它在空间坐标系中的位矢为 $\vec{x}$，如图给出了点 A 处的坐标标架，过点 A 各坐标线的切向为协变基矢 ${\vec{g}}_i(i=1,2,3)$，现考虑某单位法向量为 $\vec{N}$ 的平面与三个局部协变基向量所在直线相截得到的四面体 ABCD，各面面积与单位法向量如图所示。显然有：
$${\vec{N}}_i=-\frac{{\vec{g}}^i}{|{\vec{g}}^i|}=-\frac{{\vec{g}}^i}{\sqrt{g^{ii}}}(i=1,2,3)$$
由散度定理：
$$\iint \vec{n}dS=0$$
故，
$$\begin{array}{rl}& \vec{N}△S+\sum _{i=1}^3{\vec{N}}_i△S_i=0\\ & \\ & ⟹\vec{N}△S=\sum _{i=1}^3\left(\frac{{\vec{g}}^i}{\sqrt{g^{ii}}}△S_i\right)\\ & \\ & \begin{array}{rl}& ⟹△S_i=△S\sqrt{g^{ii}}(\vec{N}\cdot {\vec{g}}_i)\\ & \\ & =△S\sqrt{g^{ii}}{N}_i(不对i求和)\\ & \\ & \triangleq C_i△S\end{array}\end{array}$$
式中，$N_i$ 为外法向 $\vec{N}$ 的协变分量，对于固定的代表性物质点 A 及恒定的外法向 $\vec{N}$ 而言，系数 $C_i$ 为常数。

另外根据四面体与平行六面体间的体积关系，可将四面体 ABCD 的体积 $△v$ 写作：
$$\begin{array}{rl}& △v=\frac{1}{6}\left|\left(\frac{\stackrel{——}{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{g_1}}{\sqrt{g_{11}}}\times \frac{\stackrel{——}{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{g_2}}{\sqrt{g_{22}}}\right)\cdot \frac{\stackrel{——}{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{g_3}}{\sqrt{g_{33}}}\right|\\ & \\ & =\frac{\sqrt{2g}}{3\left(\prod _{i=1}^3\sqrt{g_{ii}}\right)}\sqrt{\frac{\stackrel{——}{\mathrm{AB}}\cdot \stackrel{——}{\mathrm{AC}}}{2}\frac{\stackrel{——}{\mathrm{AB}}\cdot \stackrel{——}{\mathrm{AD}}}{2}\frac{\stackrel{——}{\mathrm{AC}}\cdot \stackrel{——}{\mathrm{AD}}}{2}}\\ & \\ & =\frac{\sqrt{2g}}{3\left(\prod _{i=1}^3\sqrt{g_{ii}}\right)}\sqrt{\frac{△S_3}{sin(AB,AC)}\frac{△S_2}{sin(AB,AD)}\frac{△S_1}{sin(AC,AD)}}\\ & \\ & =\frac{\sqrt{2g}}{3}\sqrt{\frac{N_1\cdot N_2\cdot N_3}{\left(\prod _{i=1}^3\sqrt{g_{ii}}\right)\cdot sin(AB,AC)\cdot sin(AB,AD)\cdot sin(AC,AD)}}\sqrt{(△S{)}^3}\\ & \\ & \triangleq C_v\sqrt{(△S{)}^3}\end{array}$$
对于固定的代表性物质点 A 及恒定的外法向 $\vec{N}$ 而言，系数 $C_v$ 为常数。将守恒律应用于上述四面体，并利用积分中值定理：
$$\begin{array}{rl}& \frac{D}{Dt}(\stackrel{——}{\mathrm{\rho \Phi }}\cdot △v)=\stackrel{——}{\mathrm{\rho \Psi }}\cdot △v+\left[\bar{\pi }(\vec{N})\cdot △S+\sum _{i=1}^3\bar{\pi }({\vec{N}}_i)\cdot △S_i\right]\\ & \\ & ⟹\frac{D}{Dt}(\stackrel{——}{\mathrm{\rho \Phi }}\cdot C_v\sqrt{(△S{)}^3})=\stackrel{——}{\mathrm{\rho \Psi }}\cdot C_v\sqrt{(△S{)}^3}+\left[\bar{\pi }(\vec{N})+\sum _{i=1}^3\bar{\pi }({\vec{N}}_i)\cdot C_i\right]\cdot △S\end{array}$$
令法向为 $\vec{N}$ 的平面趋近于 A 点，且该趋近过程中保持 $\vec{N}$ 不变，那么有：
$$\underset{△S\to 0}{\lim }\frac{D}{Dt}(\stackrel{——}{\mathrm{\rho \Phi }}\cdot C_v\sqrt{(△S{)}^3}\cdot \frac{1}{△S})=\underset{△S\to 0}{\lim }\stackrel{——}{\mathrm{\rho \Psi }}\cdot C_v\sqrt{(△S{)}^3}\cdot \frac{1}{△S}+\underset{△S\to 0}{\lim }\left[\bar{\pi }(\vec{N})+\sum _{i=1}^3\bar{\pi }({\vec{N}}_i)\cdot C_i\right](C_i,C_v\in Const)$$
则：
$$\underset{△S\to 0}{\lim }\left[\bar{\pi }(\vec{N})+\sum _{i=1}^3\bar{\pi }({\vec{N}}_i)\cdot C_i\right]=0$$
即
$${\pi }_A(\vec{N})=-\sum _{i=1}^3\left[\sqrt{g^{ii}}{N}_i\cdot {\pi }_A({\vec{N}}_i)\right]$$
由于代表性物质点 A 是任意选取的，故将下标 A 省去，写作
$$\begin{array}{rl}& \pi (\vec{N})=-\sum _{i=1}^3\left[N_i\sqrt{g^{ii}}\cdot \pi ({\vec{N}}_i)\right]\\ & \\ & ⟹\pi \left[\sum _{i=1}^3\left(\frac{{\vec{g}}^i}{\sqrt{g^{ii}}}\frac{△S_i}{△S}\right)\right]=\pi \left\{\sum _{i=1}^3\left[-\frac{{\vec{g}}^i}{\sqrt{g^{ii}}}\cdot \left(-N_i\sqrt{g^{ii}}\right)\right]\right\}=\sum _{i=1}^3\left[\left(-N_i\sqrt{g^{ii}}\right)\cdot \pi \left(-\frac{{\vec{g}}^i}{\sqrt{g^{ii}}}\right)\right]\end{array}$$
虽然，$\vec{N}$ 在求极限的过程中是不变的，但初始选择时它是任意的，结合上式可知：$\pi (\vec{N})$ 将任意向量线性映射为 $r$ 阶张量，故根据线性表示定理:
$$\exists \mathbf{\Sigma }\in {\mathcal{T}}_{r+1}(V),s.t.\pi (\vec{N})=\mathbf{\Sigma }\cdot \vec{N}$$
那么，在流依赖于外法线的前提条件下，可将守恒律改写为：
$$\frac{D}{Dt}{\int }_v\rho \mathbf{\Phi }dv={\int }_v\rho \mathbf{\Psi }dv+{\int }_{\partial v}\mathbf{\Sigma }\cdot \vec{N}dS(a)$$
$${\int }_v\frac{D}{Dt}(\rho \mathbf{\Phi }dv)={\int }_v(\rho \mathbf{\Psi }+\mathbf{\Sigma }\cdot ▽)dv(b)$$
式中，$\mathbf{\Phi }(\vec{x},t),\mathbf{\Psi }(\vec{x},t)\in {\mathcal{T}}_r(V)$；$\mathbf{\Sigma }\in {\mathcal{T}}_{r+1}(V)$，且：
$$\mathbf{\Sigma }=\sum _{i=1}^3\left[\sqrt{g^{ii}}\cdot \pi \left(\frac{{\vec{g}}^i}{\sqrt{g^{ii}}}\right)\otimes {\vec{g}}_i\right]$$
另外将上式转化为参考构型下则有：
$$\frac{D}{Dt}{\int }_{v_0}\rho \mathbf{\Phi }\mathcal{J}d{v}_0={\int }_{v_0}\rho \mathbf{\Psi }\mathcal{J}d{v}_0+{\int }_{\partial v_0}\mathbf{\Sigma }\cdot \mathcal{J}\stackrel{-T}{\mathbf{F}}\cdot \overrightarrow{{}_{0}N}d{S}_0(c)$$