1. Hill 应变度量 与 Seth 应变度量

无论是立足于参考构型还是当前构型，某一代表性物质点领域内的变形（某方向的长度比、任意两方向夹角的变化、面元体元的改变）均可通过主长度比/主方向加以描述。因此，任何能够确定长度比/主方向的张量均可作为应变的度量，来描述代表性物质点邻域内的变形状态。基于上述观点， Rodney Hill 于 1968 年定义了 通类的 应变度量函数（应变张量的主轴表示）：

• Lagrange 描述:
  $${\mathbf{E}}_{Hill}=\mathbf{E}=\sum _{\alpha =1}^{3}f({\lambda }_{\alpha }){\vec{L}}_{\alpha }\otimes {\vec{L}}_{\alpha }$$
• Euler 描述：
  $${\mathbf{e}}_{Hill}=\mathbf{e}=\sum _{\alpha =1}^{3}f({\lambda }_{\alpha }){\vec{l}}_{\alpha }\otimes {\vec{l}}_{\alpha }$$

其中， $f(\lambda )$ 为单调可微的标量函数，且满足：

(1) 主伸长比为1(无变形)时，应变为零：
$$f(1)=0$$
(2) 应变是严格单调递增的函数(较大的主长度比对应更大的应变)：
$$f^{\prime }(\lambda )>0$$
(3) 小变形条件下，Hill 应变 可退化为已有的 柯西应变：
$$f^{\prime }(1)=1$$

对条件（3）作如下说明：

1822 年 Cauchy 提出在小变形条件下，可用熟知的六个柯西应变分量来度量材料的线段变形与角度变形，又
$$\lambda =1+\epsilon$$
其中，柯西主应变 $\epsilon$ 为一小量，那么
$$f(\lambda )=f(1+\epsilon )=f(1)+f^{\prime }(1)\epsilon +o({\epsilon }^2)\approx f^{\prime }(1)\epsilon$$
式中运用了无变形无应变的条件。可见当且仅当 $f^{\prime }(1)=1$ 时
$$f(\lambda )\approx \epsilon$$

从Hill应变度量的定义来看，${\mathbf{E}}_{Hill}$ 或 ${\mathbf{e}}_{Hill}$ 均为对称张量，且二者满足：
$$\mathbf{E}={\mathbf{R}}^{\mathbf{T}}\cdot \mathbf{e}\cdot \mathbf{R}$$
其中，$\mathbf{R}$ 为转动张量。

印度力学家 Seth 提出如下形式的 $f$ ，此时的应变称作 Seth 应变度量。
$$f(\lambda )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2n}({\lambda }^{2n}-1)& (n\in \mathbb{R},n\ne 0)\\ & \\ ln\lambda & (n=0)\end{array}$$
其中，$n=0$ 时的定义源自 $n\ne 0$ 时的极限 (应用洛必达法则)，即
$$\underset{n\to 0}{\lim }\frac{1}{2n}({\lambda }^{2n}-1)=\underset{n\to 0}{\lim }\frac{e^{2n\cdot ln\lambda }-1}{2n}=\underset{n\to 0}{\lim }\frac{(2ln\lambda )e^{2n\cdot ln\lambda }}{2}=ln\lambda$$

2. Hill -Seth 应变度量的 Lagrange 描述

Lagrange 描述下的 Seth 应变张量为：
$$\mathbf{E}=\{\begin{array}{ll}\sum _{\alpha =1}^3\frac{1}{2n}({\lambda }_{\alpha }^{2n}-1){\vec{L}}_{\alpha }\otimes {\vec{L}}_{\alpha }=\frac{1}{2n}({\mathbf{C}}^n-\mathbf{I})=\frac{1}{2n}({\mathbf{U}}^{2n}-\mathbf{I})& (n\in \mathbb{R},n\ne 0)\\ & \\ \sum _{\alpha =1}^{3}ln{\lambda }_{\alpha }{\vec{L}}_{\alpha }\otimes {\vec{L}}_{\alpha }\triangleq ln\mathbf{U}& (n=0)\end{array}$$

2.1. Green-Lagrange 应变张量

当 $n=1$ 时，
$${\mathbf{E}}^{(1)}=\frac{1}{2}(\mathbf{C}-\mathbf{I})$$
对 Green-Lagrange 应变张量的几何意义 进行说明：

立足于参考构型，经历变形后，任意方向线元 $\vec{L}$ 的长度比 ${\lambda }_L$ 为：
$${\left(\frac{ds}{d{s}_0}\right)}^2=\vec{L}\cdot \mathbf{C}\cdot \vec{L}$$
则，
$$\vec{L}\cdot {\mathbf{E}}^{(1)}\cdot \vec{L}=\vec{L}\cdot \left[\frac{1}{2}(\mathbf{C}-\mathbf{I})\right]\cdot \vec{L}=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{ds}{d{s}_0}\right)}^2-1\right]$$
在 物质坐标系 下，Green-Lagrange 应变张量可由位移进行表示：
$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{E}}^{(1)}=\frac{1}{2}({\mathbf{F}}^{\mathbf{T}}\cdot \mathbf{F}-\mathbf{I})\\ & \\ & =\frac{1}{2}\left[{\left(\mathbf{I}+\frac{\partial \vec{u}}{\partial X^A}\otimes {\vec{G}}^A\right)}^T\cdot \left(\mathbf{I}+\frac{\partial \vec{u}}{\partial X^B}\otimes {\vec{G}}^B\right)-\mathbf{I}\right]\\ & \\ & =\frac{1}{2}\left({▽}_0\vec{u}+\vec{u}{▽}_0+{▽}_0\vec{u}\cdot \vec{u}{▽}_0\right)\end{array}$$
写成分量形式：
$$E_{AB}^{(1)}=\frac{1}{2}\left(U_A{|}_B+U_B{|}_A+U^M{|}_A{U}_M{|}_B\right)$$

2.2. 物质 Biot 应变张量/工程应变

当 $n=\frac{1}{2}$ 时，
$${\mathbf{E}}^{(\frac{1}{2})}=\mathbf{U}-\mathbf{I}$$

2.3. 右 Henkey 应变张量/Lagrange 型对数应变

当 $n=0$ 时，
$${\mathbf{E}}^{(0)}=ln\mathbf{U}=\sum _{\alpha =1}^{3}ln{\lambda }_{\alpha }{\vec{L}}_{\alpha }\otimes {\vec{L}}_{\alpha }$$

2.4. Piola 应变张量

当 $n=-1$ 时，
$${\mathbf{E}}^{(-1)}=\frac{1}{2}(\mathbf{I}-\stackrel{-1}{\mathbf{C}})$$

3. Hill -Seth 应变度量的 Euler 描述

Euler 描述下的 Seth 应变张量为：
$$\mathbf{e}=\{\begin{array}{ll}\sum _{\alpha =1}^3\frac{1}{2n}({\lambda }_{\alpha }^{2n}-1){\vec{l}}_{\alpha }\otimes {\vec{l}}_{\alpha }=\frac{1}{2n}({\mathbf{B}}^n-\mathbf{I})=\frac{1}{2n}({\mathbf{V}}^{2n}-\mathbf{I})& (n\in \mathbb{R},n\ne 0)\\ & \\ \sum _{\alpha =1}^{3}ln{\lambda }_{\alpha }{\vec{l}}_{\alpha }\otimes {\vec{l}}_{\alpha }\triangleq ln\mathbf{V}& (n=0)\end{array}$$

3.1. Finger 应变张量

当 $n=1$ 时，
$${\mathbf{e}}^{(1)}=\frac{1}{2}(\mathbf{B}-\mathbf{I})$$

3.2. 左 Henkey 应变张量/Euler 型对数应变

当 $n=0$ 时，
$${\mathbf{e}}^{(0)}=ln\mathbf{V}=\sum _{\alpha =1}^{3}ln{\lambda }_{\alpha }{\vec{l}}_{\alpha }\otimes {\vec{l}}_{\alpha }$$

3.3. 空间 Biot 应变张量

当 $n=-\frac{1}{2}$ 时，
$${\mathbf{e}}^{(-\frac{1}{2})}=\mathbf{I}-{\mathbf{V}}^{-1}$$

3.4. Almansi 应变张量

当 $n=-1$ 时，
$${\mathbf{e}}^{(-1)}=\frac{1}{2}(\mathbf{I}-\stackrel{-1}{\mathbf{B}})=\frac{1}{2}(\mathbf{I}-\mathbf{c})$$

对 Almansi 应变张量的几何意义 进行说明：

立足于当前构型，经历变形后，任意方向线元 $\vec{l}$ 的长度比 ${\lambda }_l$ 为：
$${\left(\frac{ds}{d{s}_0}\right)}^2=\vec{l}\cdot \mathbf{c}\cdot \vec{l}$$
则，
$$\vec{l}\cdot {\mathbf{e}}^{(-1)}\cdot \vec{l}=\vec{l}\cdot \left[\frac{1}{2}(\mathbf{I}-\mathbf{c})\right]\cdot \vec{l}=\frac{1}{2}\left[1-{\left(\frac{ds}{d{s}_0}\right)}^2\right]$$

在 空间坐标系 下，Almansi 应变张量可由位移进行表示：
$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{e}}^{(-1)}=\frac{1}{2}(\mathbf{I}-\stackrel{-T}{\mathbf{F}}\cdot \stackrel{-1}{\mathbf{F}})\\ & \\ & =\frac{1}{2}\left[\mathbf{I}-{\left(\mathbf{I}-\frac{\partial \vec{u}}{\partial x^i}\otimes {\vec{g}}^i\right)}^T\cdot \left(\mathbf{I}-\frac{\partial \vec{u}}{\partial x^i}\otimes {\vec{g}}^i\right)\right]\\ & \\ & =\frac{1}{2}\left(▽\vec{u}+\vec{u}▽-▽\vec{u}\cdot \vec{u}▽\right)\end{array}$$
分量形式为：
$$e_{ij}^{(-1)}=\frac{1}{2}(u_i{|}_j+u_j{|}_i-u^k{|}_i{u}_k|j)$$

4. 应变协调方程