电子技术——稳定性问题

本节我们讨论稳定性问题。

反馈放大器的传递函数

在考虑频率响应的情况下，开环增益 $A$ 通常是关于复频率 $s$ 的函数 。那么 $A(s)$ 就称为 开环传递函数 。同时， $\beta$ 也可能是一个关于复频率 $s$ 的函数。我们称 $\beta (s)$ 为 反馈传递函数 。同样的称 $A_f(s)$ 为 闭环传递函数 。

$$A_f(s)=\frac{A(s)}{1+A(s)\beta (s)}$$

为了方便我们分析，突出本节的重点，我们假设放大器是直接耦合的，也就是说其DC增益非零为 $A_0$ ，并且极点和零点现象只发生在高频响应处。同样的，假设在低频处 $\beta (s)$ 退化为一个常数，此时 $A(s)\beta (s)$ 在低频出为一个稳定的常数，并且为正数。现在的问题是，在高频处反馈放大器会发生什么？

我们带入物理频率 $s=j\omega$ ：

$$A_f(j\omega )=\frac{A(j\omega )}{1+A(j\omega )\beta (j\omega )}$$

环路增益 $A(j\omega )\beta (j\omega )$ 是一个复数，可以表示为指数的形式：

$$L(j\omega )\equiv A(j\omega )\beta (j\omega )=|A(j\omega )\beta (j\omega )|e^{j\varphi (\omega )}$$

放大器的稳定性取决于环路增益 $A(j\omega )\beta (j\omega )$ ，为了说明这一点，我们假设存在一个角频率 ${\omega }_{180}$ 使得环路增益的辐角 $\varphi (\omega )$ 为 $180$ 度。此时环路增益 $L(j\omega )$ 是一个负实数，此时在此频率下，反馈放大器变成了正反馈。若此时 $L(j\omega )$ 的大小小于单位一，那么闭环增益 $A_f(s)$ 将大于 $A_{(}s)$ ，尽管如此，其系统也是稳定的。

另一方面，若在角频率 ${\omega }_{180}$ 下，此时 $L(j\omega )=-1$ 则 $A_f(j\omega )=\infty$ ，这说明即使是零输入也会存在输出，我们将这种情况定义为 振荡器 。为了进一步说明振荡器的工作方式，我们考虑第一节中的环路图，我们将信号输入置零 $x_s=0$ 。电路的任何干扰，例如开关电源，都会产生一个噪声信号 $x_i(t)$ 输入到放大器中，噪声信号是一个具有很宽频率的信号，若此时包含 ${\omega }_{180}$ 的信号，也就是说包含 $X_i\sin ({\omega }_{180}t)$ 则此时的反馈信号为：

$$X_f=L(j{\omega }_{180})X_i=-X_i$$

尽管此时输入信号可能没有 ${\omega }_{180}$ 的信号了，但是反馈同样输入了 $X_i$ 在 ${\omega }_{180}$ 的信号，这将导致这个信号一直存在与放大器的输入和输出端。我们称放大器在 ${\omega }_{180}$ 处震荡。

现在的问题是，若在角频率 ${\omega }_{180}$ 下，此时 $|L(j\omega )|$ 大于单位一会发生什么？现在我们只给出一个特定的答案，不是一般性答案。答案是放大器会震荡，震荡信号从一个较小的幅值线性逐渐增大，直到存在一个非线性限制幅值的继续增大，此时幅值不会再发生变化，环路增益变成单位一。这也是震荡器的工作方式。现在我们知道放大器会在特定的频率下震荡，我们希望找到一个方法来抑制放大器的震荡。

奈奎斯特图

奈奎斯特图是对 $L(j\omega )$ 的一个图像化描述方法：

图中，我们将物理频率 $\omega$ 作为参数，将 $L(j\omega )$ 作为函数值，在复平面上描绘其运动曲线。在图中实线对应的是正频率范围。因为环路增益，以及任何的物理网络增益，其大小都是关于频率的偶函数，而相位是关于频率的奇函数，因此负频率只需要将正频率曲线沿着实轴对称。

奈奎斯特曲线和实轴负半轴的交点我们称为 ${\omega }_{180}$ 频率点。因此，若交点在 $(-1,0)$ 的左边，此时环路增益的大小大于单位一，系统是不稳定的。另一方面，若交点在 $(-1,0)$ 的右边，此时放大器是稳定的。若奈奎斯特曲线环绕点 $(-1,0)$ 那么系统是不稳定的。

虽然这是 奈奎斯特准则 的一个简化版本，但适用于我们研究的所有电路。