1. 引言

前序博客：

• Bulletproofs: Short Proofs for Confidential Transactions and More学习笔记
• Bulletproofs 代码解析
• Bulletproofs+: Shorter Proofs for Privacy-Enhanced Distributed Ledger学习笔记
• Bulletproofs+ 代码解析

Liam Eagen 2022年3月论文《Bulletproofs++》。
开源代码实现见：

• https://github.com/sanket1729/rust-bulletproofs-pp（Rust）

Bulletproofs++ 在 Bulletproofs 和 Bulletproofs+ 的基础上，实现了：

• 1）新的range proof：具有更短的proof size的同时，具有更短的witness length。

  • 1.1）将（weighted）inner product协议修改为可证明norm relation——即self inner product，与此同时，仅需要对该vector commit一次。
  • 1.2）借助norm relation argument，构建了a binary digit range proof，其witness length仅为 Bulletproofs和Bulletproofs+ 的一半。
  • 1.3）借鉴由BG12论文派生的logarithmic permutation argument，以及本文的norm argument，构建了一组具有任意bases的range proof方案。
    • 1.3.1）对于64 bit range proof：采用16个十六进制数字，reciprocal range proofs中包含10个曲线点和3个标量，其proof size对应Curve25519为416字节，对应SECP256k1为418字节。
      该proof size比Bulletproofs+ 小约27%，比Bulletproofs小约38%。
    • 1.3.2）witness length与Verification Complexity成比例，缩小了约6倍，随着range number的增加，可缩小约8倍。

• 2）新的confidential transaction协议：支持多种currency类型。
  使用permutation argument构建了支持多种currency类型的 zero knowledge confidential transaction protocol：

  • 采用one multiplication per input and per output，并支持多方证明，从而大大改进基于ring signature以及Bulletproof所构建的confidential transactions。

具体range proof证明性能对比为：

range proof验证性能对比为：

不同range proof的proof size对比为：