力扣62.不同路径

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
   示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109

方法1：暴力深搜(超时未通过)

使用最经典的深搜dfs模板搜索全部路线，每搜索到一个路线让全局变量count++，最终返回count，但由于其指数级的时间复杂度最终导致结果超时

int count=0;
void dfs(int m,int n,int **book,int i,int j)
{
    if(i==m-1&&j==n-1)
    {
        count++;
        return;
    }
    if(i+1<m&&j<n&&book[i+1][j]==0)
    {
       book[i+1][j]=1;
       dfs(m,n,book,i+1,j);
        book[i+1][j]=0;
    }
    if(i<m&&j+1<n&&book[i][j+1]==0)
    {
        book[i][j+1]=1;
        dfs(m,n,book,i,j+1);
        book[i][j+1]=0;
    } 
}
int uniquePaths(int m, int n){
int **book=(int **)malloc(sizeof(int *)*m),i=0;
for(i=0;i<m;i++) book[i]=(int *)calloc(sizeof(int),n);
book[0][0]=1;
count=0;
dfs(m,n,book,0,0);
return count;
}

方法2：动态规划

思路：对于一个位置（i，j）的到达路线数，等于其正上方位置：(i-1，j)路线数加上其左边位置：（i，j-1）路线数之和。
即有状态转移方程：
$$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$$
开辟额外的O(mn)空间来存储每一位置的到达路线数
算法时间复杂度O(mn) 空间复杂度O(mn)

int uniquePaths(int m, int n){
    int results[m][n],i,j;
    for(i=0;i<m;i++) memset(results[i],0,sizeof(int)*n);
    results[0][0]=1;
    for(i=0;i<m;i++){
        for(j=0;j<n;j++)
        {
            if(i-1>=0) results[i][j]+=(results[i-1][j]);
            if(j-1>=0) results[i][j]+=(results[i][j-1]);
        }
    }
    return results[m-1][n-1];
}