1.算法描述

整体思路如图1中所示，

其中输入序列使用randn函数来产生，卷积也采用matlab本身的函数conv，加性高斯白噪声用wgn函数来产生，由于实验的重点在Viterbi译码，下面介绍译码的实现。

译码总体上是先通过加——比——选来得到最优路径，然后根据状态转移图来得到解码后的码字。

由图4可以看到在选择最佳路径时，第一时刻和第二时刻需要特殊处理，从第三时刻开始直到译码结束处理方式都相同。在整个过程中需要记录的是到达各个状态的累计最小汉明距离及路径。用RouteS0->RouteS3来记录到达各个状态的路径，用数组D来记录到达各个状态时的累计汉明距离。从S0状态（a状态）开始，第一时刻只能到达S0和S1状态，且输出分别为00和11，这时只记录到达S0和S1时输出与接收码字的汉明距离D(1)和D(2),第二时刻可达的状态为全部，但是到达个状态也只有一条路径，此时记录下到达四个状态的累计汉明距离及路径。从第三时刻开始，到达每个状态有两条路径，将这两天路径的累计汉明距离进行比较保存下距离小的，以及与该距离相对应的路径。由于对原序列添加了2比特的0，所以理论上最终的状态归于S0，故最终的RouteS0就是最佳路径。在这个过程中要注意使用临时变量来保存上一时刻的路径和累计距离，以免在该时刻重新赋值时发生覆盖。最后利用状态转移图来根据最佳路径得到码字。程序见附录。

2.1卷积码编码原理

分组码是把信息序列分成长为k的许多子段，然后每个子段独立地编出各自的监督码，形成长为n的码字。每个子段的监督位只与本子段的信息位有关，而与其他子段无关。各个段形成的码字在编码译码时独立进行。为了达到一定的纠错能力和效率，分组码的码字n通常比较大。编码解码时必须把本子段的信息码存储起来再进行编码解码。这样当码长n较大时，编码解码过程所产生的时延也随之增加。若降低码长n，又会使纠错能力和效率下降。卷积码对信息位的处理与分组码完全不同，它是一种连续处理信息序列的编码方式。码字的监督位不仅与本段的信息位有关而且与其它段落的信息位也有关。整个编码过程前后相互关联，连续进行。在编码时将信息序列分成长度为k的子段，把长度为k的信息比特编为n个比特，k和n取值通常都很小，特别适合以串行形式传输信息，时延小。长为n的每个子段包括k个信息位和r=n-k个监督位，这里的监督位不仅与本段的k个信息位有关，也与前面（N-1）段的信息位有关，N为相关联的信息序列的分段数目。编码后相互关联的码元数目为nN。卷积码的纠错能力随着N的增加而增大，差错率随N的增加而指数下降。与分组码相比，在设备复杂度相同的条件下卷积码的性能优于分组码。

2.2维特比译码

卷积码的译码方法可分为代数译码和概率译码两大类，概率译码比较常用的有两种，一种叫序列译码，另一种叫Viterbi译码法，本实验主要是Viterbi译码方法的实现。它的基本思想是把接收到的矢量，和网格图上诸种可能的路径比较，删去距离大的路径，保留距离小的路径，以距离最小路径作为发码的估值.下面利用图解的方法来说明维特比解码的方法和运作过程。设输入编码器的信息序列为(1 1 0 1 1 0 0 0 ),则由编码器输出的序列 Y=(1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 ),编码器的状态转移路线为 abcdbdca。若收到的序列R=（0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 ），对照网格图来说明维特比译码的方法。

由于该卷积码的约束长度为 3位，因此先选择接收序列的前 6 位序列R1 =（0 1 0 1 0 1），同到达第 3时刻可能的 8 个码序列（即 8 条路径）进行比较，并计算出码距。该例中到达第3 时刻a点的路径序列是（0 0 0 0 0 0）和（1 1 1 0 1 1 ），它们与R1的距离分别是 3 和4；到达第 3 时刻b点的路径序列是（0 0 0 0 1 1）和（1 1 1 0 0 0），它们与R1的距离分别是 3 和4，到达第 3 时刻c点的路径序列是（0 0 1 1 1 0）和（1 1 0 1 1 0），与 R1 的距离分别是 4 和1；到达第 3 时刻d 点的路径序列是（0 0 1 1 0 1）和（1 1 0 1 1 0），与 R1 的距离分别是 2 和3。上述每个节点都保留码距较小的路径为幸存路径，所以幸存路径码序列是（0 0 0 0 0 0）、（0 0 0 0 1 1）、（1 1 0 1 0 1）和（0 0 1 1 0 1），如图4（a）所示。用与上面类同的方法可以得到第 4、5、6、7 时刻的幸存路径。需指出对于某一个节点而言比较两条路径与接收序列的累计码距时，若发生两个码距值相等，则可以任选一路径作为幸存路径，此时不会影响最终的译码结果。图 4（b）给出了第 5 时刻的幸存路径，在码的终了时刻a状态，得到一根幸存路径，如图 4（c）所示。由此看到译码器输出是R’ =（1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0），即可变换成序列（1 1 0 1 1 0 0 0），恢复了发端原始信息。比较 R’和R序列，可以看到在译码过程中己纠正了在码序列第 1 和第7位上的差错。当然，差错出现太频繁，以至超出卷积码的纠错能力，则会发生误纠，这是不希望的。

选择(2，1，2)卷积码为例来说明。

(2，1，2)码的编码器及相应的状态图能表示卷积编码器在不同输入信息序列下，编码器各状态之间的转移关系，但并不能表示出编码器状态转移与时间关系。为了表示这种状态与时间的关系，可以用网格(Terills)图来表示，如图3所示。此图是L=5时，该(2，1，2)码的状态转移时间关系图，它由节点和分支组成，共有L+m+1个时间单位(节点)，以0至L +m予以标号。若编码器从S0 (00)状态开始，并且结束于S0状态，则最先的m=2个时间单位(0，1)，相应于编码器由S0状态出发往各个状态行进，而最后m=2个时间单位(6，7)，相应于编码器由各状态返回到S0状态。

编码器从全为0的S0状态出发，最后又回到S0状态时所输出的码序列，称为结尾卷积码序列。因此，当送完L段信息序列后，还必须向编码器再送入m段全0序列，以迫使编码器回到S0状态。

网格图中每一个状态有两个输入和两个输出分支，在某一时间单位(节点)i，离开每一状态的虚线分支，表示输入编码器中的信息子组=1；而实线分支表示此时刻输入编码器的信息子组=0。每一分支上的两个数字，表示第i时刻编码器输出的子组，因而网格图中的每一条路径都对应于不同输入的信息序列。由于所有可能输入的信息序列共有个(假设L为总时间)，因而网格图中可能有的路径也有条，相应于个长为的不同码序列。

2.仿真效果预览

matlab2022a仿真结果如下：

3.MATLAB部分代码预览

 
Frame = 1000;%编码的帧数
for i = 1 : Frame
    i
    SignNum = 1000;%每一帧的码字数目
    Length = SignNum + 3;%添加尾比特后的原始码序列长度
    
    OrigiSeq=(sign(randn(1,SignNum))+1)/2;      %产生原始的0或1信息序列
    OrigiSeq=[OrigiSeq 0 0 0] ;                    %添加尾比特使编码后状态归零
    
    ConCode = ConEncode(OrigiSeq, Length);      %卷积编码
    QPSKCode = QPSKEncode(ConCode, Length);      %QPSK调制
    SNR = 1: 1 : 5;
 
    error = zeros(Frame,length(SNR));
    for k = 1:length(SNR)
        RecCode = awgn(QPSKCode,SNR(k),'measured');               %给信号加噪            
        DQPSKCode = QPSKDecode(RecCode, Length);     %QPSK解调
        Decoder = Viterbi(DQPSKCode, Length);        %维特比译码
        error(i,k) = sum(abs(Decoder-OrigiSeq));
    end
end
 
AveError = zeros(1,length(SNR));
for column = 1:length(SNR)
    for row = 1:Frame
        AveError(column) = AveError(column) + error(row,column);
    end
end
AveError = AveError/Frame;
 
figure;
semilogy(SNR,AveError/1000,'b-s')
 
grid on
xlabel('SNR')
ylabel('Pe')
A_032