(必经点)局部优化达到全局最优的最短路径算法探讨

news2024/11/9 6:08:18

首先,存在无序的点集D=\left \{ p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{n} \right \},n\epsilon \mathbb{N}^{+}.

D[0]=p_{1},D[1]=p_{2},...,D[n-1]=p_{n}.

再记初始路径为C=s{D[0],D[1],D[2],...,D[n]}e.

于是,我们称以下为一次变换T

if |C[i]-C[i+1]|+|C[i+2]-C[i+3]| > |C[i]-C[i+2]|+|C[i+1]-C[i+3]|
{
    swap(C[i+1],C[i+2]);
}

 需要注意的是C[0]=s,C[C.size-1]=e.

最直观的就是如下的变换:

我们对C上的每一点,依次进行如上的变换,不断的循环,直至不再需要变换,此时的路径C就是最短路径。因为每次变换后,C上的点只是两个点之间交换了顺序,而其他的点不变,同时,变换后的路径,又能保证比变换前的短,所以我们可以断定此种方法是收敛的。而且最终会达到极小值,而此时,再对C上的每一次做T,都不会进入到上述的if里面。

现在,我们来初步的看看此种方式的最大复杂度。

我们将初始路径作个变形:

 若我们从se,依次作T变换。最开始,若每次T都会swap一次,则在链上,每次T变换后,p_{1}都会顺时针移动一位。我们称C.size-3T为一次循环。每次循环后,必定会有一个点挪到末端。若假设其中有C.size-3个点需要做变换,那么就会有C.size-3次循环,每次循环有C.size-3次变换。这是最大的计算复杂度。

另外,我们需要关注到的是,每经过一次循环后,每个路径上,都会将离的近的点拉进,离得远的点推远。靠近s端的点会变得靠s端,靠近e端的会变得靠e端。

基于这样的一个现象,如果我们在初始化路径的时候,能自动的,将互相靠近的点相连接,那么,将会大大缩短循环的次数。

在这里提出一种方式,我们将坐标平面沿X轴,以d的间隔进行分割,来进行初始化路径。具体的伪代码形式:

点集:D={P1,P2,P3,...,Pn}
二维数组:A[][];

int d=10;//栅格间距
int max_i=0;//最大的区间数
for i=0;i<D.size();i++
{
    A[D[i].x/d].push_back(D[i]);
    if D[i].x/d > max_i
        max_i=D[i].x/d;
}

设路径序列C={}

则我们生成路径
for n=0;n<max_i;n++
{
    for t=0;t<A[n].size;t++
    {
        C.push_back(A[n][t]);
    }
}

C.insert(s) at 0;
C.push_back(e);

最后,我们开始逐项局部优化
bool is_changed=false;
Optimize:
    for i=0;i<C.size-3;i++
    {
        if |C[i]-C[i+1]|+|C[i+2]-C[i+3]| > |C[i]-C[i+2]|+|C[i+1]-C[i+3]|
        {
            exchange(C[i+1],C[i+2]);
            is_changed=true;
        }
    }

if is_changed
    go back to Optimize;
else
{
    if |C[0]-C[1]|+|C[C.size-1]-C[C.size-2]| > |C[0]-C[C.size-2]|+|C[C.size-1]-C[0]|
        exchange(C[0],C[C.size-1]);
}

 此算法只是初步设想,具体的算法运行效率,后续会做试验进行验证。有什么不对之处,望指教出来,谢谢!

 

 

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